课时达标检测(4) 指数函数的性质及应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

课时达标检测(四)　指数函数的性质及应用 基础达标 　 一、单项选择题 1.已知a=0.860.75,b=0.860.85,c=1.30.86,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析　因为函数y=0.86x在R上是减函数,所以0<0.860.85<0.860.75<1。又1.30.86>1,所以c>a>b。故选D。 答案　D 2.已知函数f(x)=(a∈R),若f(f(-1))=1,则a= (　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1),满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是 (　　) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析　由f(1)=得a2=,所以a=,即f(x)=。由于y=|2x-4|在(-∞,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减。故选B。 答案　B 4.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,则(　　) A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) C.f(1)>f(2) D.f(-2)>f(2) 解析　因为f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),f(2)=4,所以a-2=4,所以a=,所以f(x)=-|x|=2|x|,所以f(-2)>f(-1)。故选A。 答案　A 5.若函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C.∪(1,+∞) D. 解析　由于底数3∈(1,+∞),所以函数f(x)=3(2a-1)x+3的单调性与y=(2a-1)x+3的单调性相同。因为函数f(x)=3(2a-1)x+3在R上是减函数,所以y=(2a-1)x+3在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<,从而实数a的取值范围是-∞,。故选A。 答案　A 6.若函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　) A.,+∞ B.,+∞ C.,3 D.,3 解析　因为函数f(x)=在R上单调递增,所以解得≤a<3,所以实数a的取值范围是,3。故选D。 答案　D 二、多项选择题 7.已知f(x)=|x|,x∈R,则f(x)是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.在(0,+∞)上是增函数 D.在(0,+∞)上是减函数 解析　函数f(x)=|x|=其图像如图所示。由图像可知选BD。 答案　BD 8.设f(x)=|3x-1|,c<b<a且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是 (　　) A.3c≤3b B.c<0 C.a<0 D.3c+3a<2 解析　函数f(x)=|3x-1|的图像如图所示。 由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)可知c,b,a不在同一个单调区间上,故有c<0,a>0。所以f(c)=1-3c,f(a)=3a-1。因为f(c)>f(a),即1-3c>3a-1,3c+3a<2。故选BD。 答案　BD 三、填空题 9.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　,单调递减区间为　　　　。  解析　由于底数∈(0,1),所以函数f(x)=的单调性与y=1-x2的单调性相反,f(x)=的单调递增区间就是y=1-x2的单调递减区间,由y=1-x2的图像(图略)可知,当x<0时,y=1-x2是增函数;当x≥0时,y=1-x2是减函数。所以函数f(x)=的单调递增区间为[0,+∞),单调递减区间为(-∞,0)。 答案　[0,+∞)　(-∞,0) 10.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是　　　　。  解析　若a<0,则由f(a)<1得a-7<1,即a<8=-3,所以-3<a<0。若a≥0,则由f(a)<1得<1,所以0≤a<1。综上,-3<a<1,即a的取值范围是(-3,1)。 答案　(-3,1) 11.已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是　　　　。  解析　 由图可知,≤b<1,≤f(a)<2,且bf(a)的值依次增大,均为正值,所以≤bf(a)<2。 答案　 四、解答题 12.已知函数f(x)=。 (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值为3,求实数a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求实数a的值。 解　(1)当a=-1时,f(x)=, 令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减, 所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2]。 (2)