4.4 幂函数 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.4　幂函数 　　 我们说要学好数学,就要先了解它的发展史,比如我们今天要学习的幂函数。《九章算术》刘徽注: “凡广纵相乘谓之幂。”后来又将幂推广引申为多次乘方的结果。到了明清朝代,既称面积为幂,也称平方或立方为幂。清末之后,幂逐渐开始专指乘方概念。 1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式; 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像,理解它们的变化情况,了解幂函数的性质; 3.能运用幂函数的图像与性质解决相关问题。 　 知识点一、幂函数的概念 　　一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数。 知识点二、常见幂函数的图像与性质 解析式 y=x y=x2 y=x3 y= y= 图像 定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非 偶函数 单调性 在R上单调递增 在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增 在R上单调递增 在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减 在[0,+∞)上单调递增 定点 (1,1) 知识点三、幂函数共有的性质 　　1.幂函数在(0,+∞)上都有定义。 2.幂函数的图像过点(1,1)。 3.当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增。 4.当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减。 微提醒 　　幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量。 微思考 1.y=x0是幂函数吗?它的图像与常值函数y=1的图像有什么区别? 提示:y=x0是幂函数,它的图像是函数y=1的图像去掉点(0,1)。 2.当α<0时,幂函数的图像是否过原点? 提示:α<0时,y=xα在x=0时无意义,图像不过原点。 　 类型一 幂函数的概念 　　【例1】　(1)在函数y=,y=2x2,y=x2+x,y=1中,幂函数的个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析　形如y=xα,α∈R的函数叫做幂函数,只有y==x-2符合定义。 答案　B (2)已知函数f(x)=(3-m)x2m-5是幂函数,则f=　　　　。  解析　函数f(x)=(3-m)×x2m-5是幂函数,则3-m=1,解得m=2,所以f(x)=x-1,所以f(x)=,所以f==2。 答案　2 　　判断函数是幂函数的依据 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即满足:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为1 【变式训练】　(1)已知点M在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的解析式为 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=x-2 C.f(x)= D.f(x)= 解析　设幂函数的解析式为y=xα,则3=,所以α=-2。所以y=x-2。 答案　B (2)若f(x)=(m2-4m-4)xm是幂函数,则m=　　　　。  解析　因为f(x)是幂函数,所以m2-4m-4=1,即m2-4m-5=0,解得m=5或m=-1。 答案　5或-1 类型二 幂函数的图像及应用 　　【例2】　已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图像如图所示,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c<b<a B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 解析　由幂函数的图像特征,知c<0,a>1,0<b<1。故c<b<a。 答案　A 　　解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂的指数大小,相关结论为: ①在(0,1)上,幂的指数越大,幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,幂的指数越大,幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)。 (2)依据图像确定幂的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y=x-1或y=或y=x3)来判断 　　【变式训练】　如图给出4个幂函数的图像,则图像与函数大致对应的是 (　　) ①　②　③　④ A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1 B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1 C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1 D.①y=,②y=,③y=x2,④y=x-1 答案　B 类型三 幂函数的性质应用 　　命题方向1:比较大小 　　【例3】　比较下列各组中两个数的大小: (1)与; (2)与; (3)(-1.2)3,(-1.25)3; (4)0.53,30.5,log30.5。 解　(1)因为幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,又>,所以>。 (2)因为函数y1=在定义域内为减函数,且>,所以>。 又函数y2=在[0,+∞)上是增函数