4.3 指数函数与对数函数的关系 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.3　指数函数与对数函数的关系 　　图中给出了指数函数y=2x、对数函数y=log2x的图像,观察这两个函数图像有什么关系? 1.了解反函数的定义,会求简单函数的反函数; 2.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图像解决一些问题。 　 知识点一、反函数的定义 　　一般地,如果在函数y=f(x)中,给定值域中任意一个　y　的值,只有唯一的　x　与之对应,那么　x　是　y　的函数,这个函数称为y=f(x)的反函数。记作y=f-1(x)。  知识点二、互为反函数的图像与性质 　　1.图像。 y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称。 2.性质。 (1)y=f(x)的定义域与y=f-1(x)的值域相同,y=f(x)的值域与y=f-1(x)的定义域相同。 (2)如果y=f(x)是单调函数,那么它的反函数y=f-1(x)一定存在。此时,如果y=f(x)是增函数,则y=f-1(x)也是增函数;如果y=f(x)是减函数,则y=f-1(x)也是减函数。 知识点三、指数函数与对数函数的关系 　　1.关系:指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数。 2.图像特征:指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图像关于直线y=x对称。 3.变化趋势:在区间[1,+∞)内,指数函数y=2x随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y=log2x的增长速度逐渐变得缓慢。 微提醒 　　求反函数的两种方法 (1)可以通过对调y=f(x)中的x与y,然后从x=f(y)中求出y得到反函数y=f-1(x)。 (2)从y=f(x)反解得到x=f-1(y),然后把x=f-1(y)中的x,y对调得到y=f-1(x)。 微思考 函数y=2x的反函数为y=x2吗? 提示:不是;因为y=2x>0,所以x=log2y,即f-1(x)=log2x,所以函数y=2x的反函数为f-1(x)=log2x,而不是y=x2。 　 类型一 求函数的反函数 　　【例1】　(1)函数y=+1(x≥1)的反函数是 (　　) A.y=x2-2x+2(x<1) B.y=x2-2x+2(x≥1) C.y=x2-2x(x<1) D.y=x2-2x(x≥1) 解析　因为y=+1(x≥1),所以y≥1。反解x⇒x=(y-1)2+1⇒x=y2-2y+2(y≥1)。x,y互换得⇒y=x2-2x+2(x≥1)。故选B。 答案　B (2)函数f(x)=的反函数是 (　　) A.f-1(x)= B.f-1(x)= C.f-1(x)= D.f-1(x)= 答案　B 　　求函数的反函数的主要步骤 (1)从y=f(x)中解出x=φ(y); (2)x,y互换; (3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写” 【变式训练】　求出下列函数的反函数。 (1)y=πx; (2)y=x2(x≤0)。 解　(1)指数函数y=πx的反函数为对数函数y=logπx(x>0)。 (2)由y=x2得x=±,因为x≤0, 所以x=-(y≥0), 所以f-1(x)=-(x≥0)。 类型二 互为反函数的图像与性质的应用 　　【例2】　(1)记f(x)=log3(x+1)的反函数为y=f-1(x),则方程f-1(x)=8的解x=　　　　;  解析　因为f-1(x)=8,所以x=f(8)=log3(8+1)=2。 答案　2 (2)若函数y=的图像关于直线y=x对称,则常数a的值等于　　　　。  解析　可求得函数y=的反函数是y=,因为自身图像关于y=x对称,即反函数是函数自身,所以=,可得a=-1。 答案　-1 　　(1)若一个函数的图像关于直线y=x对称,则其反函数与原函数相同。 (2)y=f(a)存在反函数y=f-1(x),若f(a)=b,则f-1(b)=a。 (3)互为反函数的两函数若具有单调性,则它们的单调性相同 【变式训练】　(1)已知a>0且a≠1,则函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是 (　　) A　B　C　D 解析　解法一:首先,曲线y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,从而排除A,C;其次,从单调性着眼,y=ax与y=loga(-x)的单调性正好相反,又可排除D。故选B。 解法二:若0<a<1,则曲线y=ax下降且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件。若a>1,则曲线y=ax上升且过点(0,1),而曲线y=loga(-x)下降且过点(-1,0),只有B满足条件。 解法三:如果注意到y=loga(-x)的图像关于y轴的对称图像为y=logax,又y=logax与y=ax互为反函数(图像关于直