4.2.3 第2课时 对数函数的性质及应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

第2课时　对数函数的性质及应用 　　 　 　　① 　② 1.从图①上看,函数y=log2x与y=lox的图像有什么关系? 2.从图②上看,对数函数的图像的分布与底数有什么关系? 1.进一步理解对数函数的性质; 2.能运用对数函数的性质解决相关问题。 　 知识点一、logaf(x)<logag(x)型不等式的解法 　　1.讨论a与1的关系,确定单调性。 2.转化为f(x)与g(x)的不等关系求解,且注意真数大于零。 知识点二、y=logaf(x)型函数性质的研究 　　1.定义域:由f(x)>0解得x的取值范围,即为函数的定义域。 2.值域:在函数y=logaf(x)的定义域中确定t=f(x)的值域,再由y=logat的单调性确定函数的值域。 3.单调性:在定义域内考虑t=f(x)与y=logat的单调性,根据同增异减法则判定(或运用单调性定义判定)。 4.奇偶性:根据奇偶函数的定义判定。 5.最值:在f(x)>0的条件下,确定t=f(x)的值域,再根据a确定函数y=logat的单调性,最后确定最值。 微思考 你能求出函数y=log2(x2+2x+2)+2的定义域、单调区间、值域吗? 提示:因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0恒成立,所以函数y=log2(x2+2x+2)+2的定义域为R。令t=x2+2x+2,所以函数t=x2+2x+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1)。故函数y=log2(x2+2x+2)+2的单调递增区间为(-1,+∞),单调递减区间为(-∞,-1)。由以上的单调性可知,当x=-1时,ymin=2。所以函数y=log2(x2+2x+2)+2的值域为[2,+∞)。 　 类型一 比较大小 　　【例1】　比较下列几组值的大小。 (1)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1); (2)log3π与logπ3; (3)log30.2与log40.2。 解　(1)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2; 当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2。 综上所述,当a>1时,loga3.1<loga5.2;当0<a<1时,loga3.1>loga5.2。 (2)由中间量法可得log3π>1>logπ3,所以log3π>logπ3。 (3)在同一坐标系中作出函数y=log3x与函数y=log4x的大致图像,由两不同底数对数函数图像间的位置关系,可得log30.2<log40.2。 　　对数值大小的比较 (1)同底数的利用函数的单调性。 (2)同真数的利用函数的图像。 (3)底数与真数都不同,可以利用中间值0与1 【变式训练】　已知实数a=log23,b=0,c=log0.32,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a 解析　因为a=log23>log22=1,b=0=1,c=log0.32<log0.31=0,所以c<b<a。 答案　D 类型二 解不等式 　　【例2】　解下列不等式。 (1)log2(2x+3)≥log2(5x-6); (2)loga(x-4)-loga(2x-1)>0(a>0且a≠1)。 解　(1)原不等式等价于解得<x≤3。所以不等式的解集为x<x≤3。 (2)原不等式可化为loga(x-4)>loga(2x-1)。 当a>1时,不等式等价于无解。 当0<a<1时,不等式等价于 解得x>4。 综上可知,当a>1时,解集为⌀;当0<a<1时,解集为{x|x>4}。 　　两类对数不等式的解法 (1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式。 ①当0<a<1时,可转化为f(x)>g(x)>0; ②当a>1时,可转化为0<f(x)<g(x)。 (2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b=logaab。 ①当0<a<1时,可转化为f(x)>ab>0; ②当a>1时,可转化为0<f(x)<ab 【变式训练】　已知0<x≤,4x<logax,则a的取值范围为　　　　。  解析　由题意知a>0且a≠1。利用数形结合,由于y=4x为增函数,若a>1,则y=logax也是增函数,当0<x≤时,4x>0>logax,不满足题意;当0<a<1时,y=logax单调递减,当x=,且=loga时,解得a=,从而<a<1。 答案　 类型三 对数型函数的最值与值域 　　【例3】　已知函数f(x)=loga(1-x)+loga(x+3)(a>0,且a≠1)。 (1)求函数f(x)的定义域和值域; (2)若函数f(x)有最小值为-2,求a的