4.2.2 对数运算法则 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.2.2　对数运算法则 　　 对数是指数的另一种表达形式。对数运算是指数运算的逆运算,指数运算有指数运算的性质,对数运算也有对数运算的性质。 1.掌握积、商、幂的对数运算法则,理解其推导过程和成立条件; 2.掌握换底公式及其推论; 3.能熟练运用对数的运算法则进行化简求值。 　 知识点一、对数运算法则 　　如果a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R。那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN。推广:loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk。 (2)logaMα=αlogaM。 (3)loga=logaM-logaN。 知识点二、对数换底公式 　　logab=(a>0且a≠1,b>0,c>0且c≠1)。 微提醒 　　由换底公式得到的常用结论 (1)logab×logbc×logca=1。 (2)lobn=logab。 (3)lobm=logab。 (4)lob=-logab。 　 类型一 用对数运算法则求值 　　【例1】　计算下列对数式的值。 (1)log2+log212-log242; (2)lg52+lg8+lg5×lg20+(lg2)2。 解　(1)原式=log2+log2-log2=log2×÷=log2=log2=-。 (2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2×(lg2+lg5)=2+lg5+lg2=3。 　　对数式化简与求值的原则和方法 (1)基本原则: 对数的化简求值一般采用公式的正用或逆用,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行。 (2)两种常用的方法: ①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)。 (3)要注意一些常见的结论,如lg2+lg5=1,lg=-lga(a>0)等 【变式训练】　(1)已知ab>0,有下列四个等式: ①lg(ab)=lga+lgb;②lg=lga-lgb;③lg=lg;④lg(ab)=, 其中正确的是　　　　。  解析　①②式成立的前提条件是a>0,b>0;④式成立的前提条件是ab≠1。只有③式恒成立。 答案　③ (2)计算:①log2.56.25+lg+ln; ②。 解　①log2.56.25+lg+ln=log2.52.52+lg10-2+ln=2-2+=。 ②原式= ==。 类型二 换底公式的应用 　　【例2】　(1)已知log189=a,18b=5,求log3645的值; 解　解法一:因为log189=a,18b=5, 所以log185=b。 于是log3645=====。 解法二:因为log189=a,18b=5,所以log185=b。 于是log3645===。 解法三:因为log189=a,18b=5, 所以lg9=alg18,lg5=blg18。 所以log3645=====。 (2)计算lg-lg+lg12.5-log89×log98的值。 解　原式=lg÷×-×=lg10-1=0。 　　(1)应用换底公式表示已知对数的两个策略。 (2)利用换底公式进行化简求值的技巧及常见处理方式。 ①技巧:“化异为同”,即将不同底的对数尽量化为同底的对数来计算。 ②常见的三种处理方式: a.借助运算性质:先利用对数的运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底求解。 b.借助换底公式:一次性地统一换为常用对数(或自然对数),再化简、通分、求值。 c.利用对数恒等式或常见结论:有时可熟记一些常见结论,这样能够提高解题效率 【变式训练】　计算下列各式的值。 (1)log23×log34×log42; (2)(log23+log43)(log34+log94)。 解　(1)log23×log34×log42=××=1。 (2)(log23+log43)(log34+log94)==+=×=。 类型三 有附加条件的对数式求值 　　【例3】　(1)已知a,b,c都是不等于1的正数,且ax=by=cz,++=0,求abc的值; 解　令t=ax=by=cz,因为a,b,c>0,所以t>0,又x,y,z≠0,所以t≠1,则x=logat,y=logbt,z=logct,所以++=++=logta+logtb+logtc=logt(abc)=0。所以abc=1。 (2)设3x=4y=36,求+的值(x>0,y>0)。 解　对等式3x=4y=36各边都取以6为底的对数,得log63x=log64y=log636,即xlog63=ylog64=2。所以=log63,=log62。所以+=log63+log62=log66=1,即+=1。 　　对数