4.2.1 对数运算 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 　　在指数函数学习中,我们研究了“某放射性物质不断变化为其他物质,每经过1年,这种物质剩留的质量为原来的84%”。若该物质最初质量是1,则经过x年,该物质剩留的质量为y=0.84x。只要知道时间x,就可以求出y。反过来,如果我们测得剩留的质量为0.5,可得0.84x=0.5,如果求x呢?已知底数和幂值求指数,是一种新运算。这是我们这节课将要研究的问题。 1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质; 2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程,培养数学运算核心素养。 　 知识点一、对数的概念 　　1.对数。 (1)对数的有关概念。 (2)对数logaN的底数a的取值范围是a>0且a≠1。 2.对数恒等式。 =　N　,logaab=b。  3.对数的性质。 (1)　0　和负数没有对数,即N　>　0。  (2)1的对数是　0　,即loga1=　0　。  (3)底数的对数等于　1　,即logaa=　1　。  知识点二、常用对数与自然对数 　 类型一 对数概念的应用 　　【例1】　(1)在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是　　　　。  解析　由题意可知解得2<x<4且x≠3。 答案　(2,3)∪(3,4) (2)将下列指数式、对数式互化。 ①54=625;②log216=4;③10-2=0.01;④lo125=6。 解　①由54=625,得log5625=4。 ②由log216=4,得24=16。 ③由10-2=0.01,得lg0.01=-2。 ④由lo125=6,得()6=125。 　　指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式。 (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式 【变式训练】　(1)2-3=化为对数式为 (　　) A.lo2=-3 B.lo(-3)=2 C.log2=-3 D.log2(-3)= 解析　根据对数的定义可知选C。 答案　C (2)方程log3(2x-1)=1的解为x=　　　　。  解析　因为2x-1=3,所以x=2。 答案　2 类型二 指数式与对数式的互化求值 　　【例2】　(1)设=25,则x的值等于 (　　) A.10 B.13 C.100 D.±100 解析　因为=2x-1=25,所以x=13。故选B。 答案　B (2)y=log(x-3)(4-x)中x的取值范围是 (　　) A.(3,4) B.(3,4] C.[3,4) D.[3,4] 解析　由得解得3<x<4。所以x的取值范围是(3,4)。 答案　A 　　(1)对数恒等式=N。 因为x=logaN,所以ax=N,将x=logaN代入ax=N,即得=N。 (2)对数式有意义的条件为根据题目条件列出不等式(组)求解即可 【变式训练】　(1)计算:=　　　　。  答案　3 (2)求lo(-3x+8)中x的取值范围。 解　由已知得所以xx<且x≠0。 类型三 对数相关结论的应用 　　【例3】　求下列各式中的x的值。 (1)log2(log3x)=0; (2)log5(log2x)=1; (3)lo=x。 解　(1)因为log2(log3x)=0,所以log3x=1,所以x=3。 (2)因为log5(log2x)=1,所以log2x=5,所以x=25=32。 (3)==+1,所以lo=lo(+1)=1,所以x=1。 　　求解此类问题时,应根据对数的两个结论loga1=0和logaa=1(a>0且a≠1)进行变形求解,若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算 【变式训练】　已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,求x+y的值。 解　因为log2(log3(log4x))=0, 所以log3(log4x)=1,所以log4x=3, 所以x=43=64,同理求得y=16,所以x+y=80。 忽视对数定义中的条件致错 　　【典例】　若log(x-2)(x2-7x+13)=0,求x的值。 【易错解法】　因为log(x-2)(x2-7x+13)=0,所以x2-7x+13=1,即x2-7x+12=0,解得x=3或x=4。故所求x的值为3或4。 【易错探因】　对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1,做题时常因忽略此条件而出错,要特别注意底数含有字母的情况。 【正确解答】　因为log(x-2)(x2-7x+13)=0, 所以 即解得x=4。故所求x的值为4。 　 1.如果N=a2(a>0且a≠1),则有 (　　) A.log2N=a B.log2a=N C.logNa=2 D.logaN=2 答案　D 2.使对