4.1.2 第2课时 指数函数的性质及应用 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

第2课时　指数函数的性质及应用 　 类型一 比较两数大小问题 　　【例1】　比较下列各组数的大小: (1)1.82.2与1.83; (2)0.7-0.3与0.7-0.4; (3)1.90.4与0.92.4。 解　(1)令y=1.8x,因为1.8>1,所以函数y=1.8x为增函数。因为2.2<3,所以1.82.2<1.83。 (2)令y=0.7x,因为0.7<1,所以函数y=0.7x为减函数。因为-0.3>-0.4,所以0.7-0.3<0.7-0.4。 (3)因为1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1,所以1.90.4>0.92.4。 　　比较幂的大小的常用方法 【变式训练】　(1)已知a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则a,b,c的大小关系是 (　　) A.a>b>c　B.b>a>c　C.c>b>a　D.c>a>b 解析　由指数函数单调性可知0.80.9<0.80.7<0.80=1,1.20.8>1.20=1,故c>a>b。故选D。 答案　D (2)比较下列各题中两个值的大小: ①2.53,2.55.7;②1.5-7,;③2.3-0.28,0.67-3.1。 解　①令y=2.5x,则其为增函数。因为3<5.7,故2.53<2.55.7。 ②因为1.5-7=,=,令y=,则其为减函数。因为7<12,所以>,即1.5-7>。 ③由指数函数的性质知2.3-0.28<2.30=1, 0.67-3.1>0.670=1,所以2.3-0.28<0.67-3.1。 类型二 解简单的指数不等式 　　【例2】　解下列不等式: (1)≥; (2)a2x+1-a-3x>0(a>0,且a≠1)。 解　(1)因为≥, 所以≥3-1。 所以x2-2x-4≥-1,即x2-2x-3≥0, 解得x≥3或x≤-1。 所以不等式的解集为{x|x≥3或x≤-1}。 (2)因为a2x+1-a-3x>0, 所以a2x+1>a-3x。 当a>1时,原不等式可化为2x+1>-3x, 即x>-; 当0<a<1时,原不等式可化为2x+1<-3x, 即x<-。 综上,当a>1时,原不等式的解集为; 当0<a<1时,原不等式的解集为。 　　指数不等式的解法 (1)形如ax>ay的不等式:可借助y=ax的单调性求解。如果a的值不确定,需分0<a<1和a>1两种情况讨论。 (2)形如ax>b的不等式:注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解。 (3)形如ax>bx的不等式:可借助图像求解,也可转化为>1求解 【变式训练】　已知(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,求x的取值范围。 解　因为a2+a+2=+>1,又因为(a2+a+2)x>(a2+a+2)1-x,所以x>1-x,解得x>,即x的取值范围为,+∞。 类型三 与指数函数相关的函数的单调性 　　【例3】　求函数y=的单调递增区间、值域。 解　令t=-x2+x+2, 则y=, 因为t=-+, 可得t的单调递减区间为, 因为函数y=在R上是减函数, 所以函数y=的单调递增区间为; 又t≤,所以≥, 所以函数y=的值域为。 　　令u=f(x),x∈[m,n],如果复合的两个函数y=au与u=f(x)的单调性相同,那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是增函数;如果两者的单调性相异(即一增一减),那么复合后的函数y=af(x)在[m,n]上是减函数 【变式训练】　(1)求函数y=的单调区间; 解　令t=x2-2x+3,则由二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,且y=为减函数,故函数y=的单调递增区间为(-∞,1],单调递减区间为(1,+∞)。 (2)求函数y=-8×+17的单调区间。 解　设t=(t>0),则y=t2-8t+17=(t-4)2+1在(0,4]上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,令≤4,得x≥-2。所以当-2≤x1<x2时,4≥>,即4≥t1>t2,所以-8t1+17<-8t2+17,所以y=-8×+17的单调递增区间为[-2,+∞),同理可得单调递减区间为(-∞,-2)。 类型四 指数函数性质的综合应用 　　【例4】　已知定义在R上的函数f(x)=a+是奇函数。 (1)求a的值; (2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由); (3)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围。 解　(1)因为f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数, 所以f(0)=0,即a+=0,所以a=-, 此时,f(x)=-+, 满足f(-x)+f(x)=0, 即f(x)是奇函数,所以a=-。 (2)由(1)知f(x)=-+,故f(x)在R上为减函数。 (3)因为f(x