4.1.2 第1课时 指数函数的概念、性质与图像 微讲小本-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教B版）

4.1.2　指数函数的性质与图像 第1课时　指数函数的概念、性质与图像 　　 将一张纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y的关系为y=2x(x∈N*)。对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数x的关系为S=x(x∈N*)。这就是我们要学习的指数函数。 1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函数的定义域、值域的求法; 2.能画出具体指数函数的图像,并能根据指数函数的图像说明指数函数的性质; 3.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小。 　 知识点一、指数函数的概念 　　一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1。 知识点二、指数函数的图像和性质 a>1 0<a<1 图像 性 质 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 (0,1),即当x=0时,y=　1　  单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 微提醒 　　根据指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像恒过点(0,1),(1,a),的特征,只要确定了三点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像。 微思考 指数函数中为何要规定“a>0且a≠1”? 提示:①如果a=0,当x>0时,ax恒等于0,没有研究的必要;当x≤0时,ax无意义。 ②如果a<0,例如f(x)=(-4)x,这时对于x=,,…,该函数无意义。 ③如果a=1,则y=1x是一个常量,没有研究的价值。为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a≠1。 　 类型一 指数函数的概念 　　【例1】　(1)下列函数中是指数函数的是　　　　。(填序号)  ①y=2×()x;②y=2x-1;③y=。 解析　①中指数式()x的系数不为1,故不是指数函数;②中y=2x-1=×2x,指数式2x的系数不为1,故不是指数函数;③是指数函数。 答案　③ (2)函数f(x)=(m2-m+1)ax(a>0且a≠1)是指数函数,则m=　　　　。  解析　因为f(x)为指数函数,所以m2-m+1=1,m=0或m=1。 答案　0或1 　　(1)判断一个函数是指数函数的方法。 ①看形式:只需判断其解析式是否符合y=ax(a>0且a≠1)这一结构特征。 ②明特征:看是否具备指数函数解析式具有的三个特征。只要有一个特征不具备,则该函数不是指数函数。 (2)已知某函数是指数函数求参数值的方法。 ①令底数大于0且不等于1,系数等于1列出不等式与方程。 ②解不等式与方程求出参数的值。 提醒:要特别注意底数大于0且不等于1这一隐含条件 【变式训练】　(1)若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a=　　　　。  解析　由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得解得所以a=2。 答案　2 (2)若指数函数f(x)的图像经过点(2,9),求f(x)的解析式及f(-1)的值。 解　设f(x)=ax(a>0,且a≠1),将点(2,9)代入,得a2=9,解得a=3或a=-3(舍去)。 所以f(x)=3x。 所以f(-1)=3-1=。 类型二 与指数函数相关的函数的定义域、值域问题 　　【例2】　(1)求下列函数的定义域与值域: ①y=;②y=;③y=; 解　①要使有意义,则需要x-4≠0,因而函数y=的定义域为{x|x≠4}。 因为x≠4,所以≠0,所以y=的值域为{y|y>0且y≠1}。 ②定义域为R。因为|x|≥0,所以y==≥=1,所以此函数的值域为{y|y≥1}。 ③已知函数可化为y=,由>0,得x>1。又由>0,得y=>1。 所以所求函数的定义域为{x|x>1},值域为{y|y>1}。 (2)求函数y=4x-2x+1-1的值域。 解　设t=2x∈(0,+∞),函数化为y=t2-2t-1=(t-1)2-2,由二次函数的图像及性质,可知函数y=4x-2x+1-1的值域为[-2,+∞)。 　　函数y=af(x)(a>0且a≠1)的定义域、值域 (1)定义域的求法:函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同。 (2)函数y=af(x)的值域的求法如下: ①换元,令t=f(x); ②求t=f(x)的定义域x∈D; ③求t=f(x)的值域t∈M; ④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域 【变式训练】　(1)函数f(x)=+的定义域是 (　　) A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0) D.(-∞,-3)∪(-3,1] 答案　A (2)函数y=的值域为　　　　。  答案　(0,1] 类型三 指数函数图像的应用 　　【例3】　(1)函数y=2-|x|的大致图像是 (　　) A　B　C　D 答案　C (2)已知函数f(x)=ax-1(a>0且a≠1)满足f(1