专题12 直线的方程8种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题12 直线的方程8种常见考法归类 1．直线的点斜式方程与斜截式方程 在平面直角坐标系中，如果已知P0(x0，y0)是直线l上一点及l的斜率信息，就可以写出直线l的方程． (1)如果直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝x0． (2)直线的点斜式方程： 若直线l的斜率存在且为k，P(x，y)为直线l上不同于P0的点，则直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)．由直线上一点和直线斜率确定，通常称为直线的点斜式方程． 注：直线的点斜式方程应用范围是直线l的斜率k存在． (3)直线的斜截式方程 当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b．如果已知直线的斜率为k，截距为b，则直线l的方程为y＝kx＋b．由直线的斜率和截距确定，通常称为直线斜截式方程． 注；直线的斜截式方程应用范围是直线既不与x轴重合也不与y轴重合． 2．直线的两点式方程与截距式方程 (1)直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2≠x1，y2≠y1时，则＝称为直线的两点式方程． (2)若直线l在x轴，y轴上的截距分别为a，b，且ab≠0，则方程＋＝1称为直线的截距式方程． 注：直线的两点式方程和截距式方程的应用范围分别是两点式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，截距式表示的直线l不与坐标轴平行或重合，且不过原点． 3．直线的一般式方程 直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)． 4.求直线的点斜式方程 （1）求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)． （2）点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外． 5.关于点斜式方程的几点说明 （1）直线的点斜式方程的前提条件： ①己知一点和斜率； ②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程． （2）方程与方程不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点的一条直线. （3）当取任意实数时，方程表示恒过定点且不垂直于轴的无数条直线. 6.求直线的斜截式方程 （1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，要特别注意截距和距离的区别．截距不是距离，可正、可负也可为零. （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断． 7．由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 8．求直线的两点式方程的策略以及注意点 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程． 9.直线的两点式方程应注意的问题 要注意方程＝和方程（）（）=（）（）形式 不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线. 10.直线的截距式方程应注意的问题 （1） 截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线. （2）直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如就不是直线的截距式方程. （3）由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便. （4）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负. 11．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示 (1)直线和y轴相交于点(0，b)时：此时倾斜角α≠，直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程． (2)直线和y轴平行(包含重合)时：此时倾斜角α＝，直线的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0． 12．每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线，当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可变形为y＝－x－，它表示过点，斜率为－的直线． 当B＝0时，方程Ax＋By＋C＝0变成Ax＋C＝0． 即x＝－，它表示与y轴平行或重合的一条直线． 1