上海市同济大学第一附属中学2023届高三下学期5月月考（质控2）数学试题

同济大学第一附属中学

2022学年第二学期质控2高三年级数学试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟）

一、填空题（本大题满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

1. 已知全集，集合，则___________.

2. 不等式的解集是___________

3. 在的二项展开式中，项的系数是______（结果用数值表示）．

4. 已知为第二象限角，为其终边上一点，且，则x=___________.

5. 已知是虚数单位，复数满足，则___________.

6. 若实数x，y满足，则的最小值为______．

7. 已知在上的数量投影为，其中点O为原点，则点B所在直线方程为___________

8. 春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．

9. 设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．

10. 已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为，则球的体积为___________．

11. 已知曲线，点，是曲线上任意两个不同点，若，则称，两点心有灵犀，若，始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________．

12. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则___________

二、选择题（本大题满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）

13. 某班级有50名学生，期末考试数学成绩服从正态分布，已，则的学生人数为（    ）

A. 5 B. 10 C. 20 D. 30

14. 将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

15. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知函数，设为实数，且．给出下列结论：（1）关于中心对称；（2）存在，使得，则（    ）

A. （1）与（2）均正确 B. （1）与（2）均错误

C. （1）正确（2）错误 D. （1）错误（2）正确

三、解答题（本大题满分78分）

17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，，直线与平面所成的角为.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小.

18. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=－a5．

（1）若a3=4，求{an}的通项公式；

（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

19. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同)放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负. 并规定如下：

①一个人摸球，另一人不摸球；

②摸球的人摸出的球后不放回；

③摸球的人先从袋子中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和 .

（1）若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

（2）若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望；

20. 已知椭圆：的右焦点为，过的直线交于，两点.