上海市控江中学2024届高三上学期9月月考数学试题

高三数学月考卷（2023.9）

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）

1. 设集合，集合，则_______.

2. 不等式的解集是________.

3. 已知复数满足（是虚数单位），则________

4. 已知幂函数的图象过点，则___________.

5. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点，则___________.

6. 从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为___________(用数字作答).

7. 某圆锥体的底面圆的半径长为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥体的体积是___________.

8. 已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为_____.

9. 总体由编号为、、、、的个个体组成，利用随机数表从中抽取个个体，下面提供随机数表的第行到第行：

若从表中第行第列开始向右依次读取，则抽取的第个个体的编号是___________.

10. 已知函数，对任意，都有（为常数），且当时，，则_________.

11. 已知平面向量，，常数.向量，且对任意，总有成立，则实数的取值范围是________.

12. 已知常数，函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为___________.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）

13. 若，则下列不等式恒成立的是（     ）

A.  B.  C.  D.

14. 在中，若，则的形状一定是（    ）

A. 等边三角形 B. 直角三角形

C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形

15. 已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，下列区间是函数的增区间的是（    ）

A.  B.  C.  D.

16. 已知函数的定义域为，满足对任意，恒有，若函数的零点个数为有限的个，则的最大值为（ ）

A.  B.  C.  D.

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17. 已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

18. 如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且.

（1）求三棱锥的体积；

（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

19. 如图所示，，两处各有一个垃圾中转站，在的正东方向18km处，的南面为居民生活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得，两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约为40吨和50吨.

 

（1）当时，求的值；

（2）发电厂尽量远离居民区，也即要求的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站的距离为多少?

20. 已知.

（1）求图像的对称中心；

（2）如果的三边，，满足，求边所对的角的取值范围，用区间表示；

（3）如果的定义域取（2）中的结果，求此时的值域.

21. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“m阶自伴函数”.

（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；

（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；

（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.