2.4.1直线与圆锥曲线的交点 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.4 2.4.1 直线与圆锥曲线的交点 北师大版选择性必修一 问题1：我们学过的判断直线与圆的位置关系的方法有哪些？ 问题2：直线与圆的位置关系的判断方法是否可以推广应用到直线与椭圆的位置关系中呢？ 将直线与圆锥曲线方程联立，消元得到方程ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ＞0 2 ______ a≠0，Δ＝0 1 ______ a≠0，Δ＜0 0 ______ 方程特征 交点个数 位置关系 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 ______ a≠0，Δ＝0 1 ______ a≠0，Δ＜0 0 ______ 方程特征 交点个数 位置关系 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行，且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 ______ a≠0，Δ＝0 1 ______ a≠0，Δ＜0 0 ______ 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. 直线与圆锥曲线的位置关系 (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断 .设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 由消元,如消去y后得. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). 直线与圆锥曲线的位置关系 ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. 例1 已知椭圆 ，若直线 与椭圆有唯一的公共点，求实数的值. 解：联立直线与椭圆的方程，得化简可得 将②代入①，并整理，得. ③ 因为方程③是一元二次方程， 所以它有唯一的实数解的充要条件是， 解得或. 所以当直线与椭圆有唯一的公共点时，实数的值为或.   例2 直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是________． 例3 讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数． 例4 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是______. 例5 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，抛物线上有一点P(4，m)到焦点F的距离为5.(1)求抛物线C的方程．(2)若抛物线C与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB. 例6 已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C：y2＝x有唯一的公共点，求直线l的方程． 直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断 .设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0. 由消元,如消去y后得. ①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合). 直线与圆锥曲线的位置关系 ②若a≠0,设Δ=b2-4ac. Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点; Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点. $$