第14章 勾股定理 小结与复习（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（华东师大版）

小结与复习 第14章 勾股定理 优翼数学教学课件（HS）八上 1．勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 　 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c ，那么一定有　 　. 平方 a2＋b2＝c2 勾股定理表达式的常见变形：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2， 要点梳理 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是 a、b (且 a＞b)，那么，当第三边 c 是斜边时，c＝_________；当 a 是斜边时，第三边 c＝_________. [注意] 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边． 2．勾股定理的验证 据说验证勾股定理的方法有五百多种，其中很多是用平面图形的面积来进行验证的，比如我国古代的数学家赵爽就用了下面的方法： 如图，以 a、b 为直角边 (b＞a)，以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 .　 把这四个直角三角形拼成如图所示的正方形 ABCD，它是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 .而四边形 EFGH 是一个边长为 的正方形，它的面积等于 . b－a　 c2 (b－a)2 ∵四个直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，∴4× ab＋(b－a)2＝c2， ∴a2＋b2＝c2. 3．勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系：a2＋b2＝ ，那么这个三角形是直角三角形． 利用此定理判定直角三角形的一般步骤： (1) 确定最大边； (2) 算出最大边的平方与另两边的　 　 ； (3) 比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是　 　三角形． 平方和 直角 c2 到目前为止判定直角三角形的方法有： (1) 说明三角形中有一个角是　 ； (2) 说明三角形中有两边互相　 ； (3) 用勾股定理的逆定理． 直角 垂直 [注意] 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出 a2＋b2＝c2 之类的错误． 4．勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个　 　数，称为勾股数，即满足 a2＋b2＝c2 的三个　 　数 a、b、c，称为勾股数． [注意] 勾股数都是正整数． 正整 正整 5．勾股定理的应用 应用勾股定理及其逆定理可解决如下问题： (1) 已知 三角形的任意两边，求第三边长或图形周长、面积的问题； (2) 说明线段的平方关系问题； (3) 在　 上作表示 等数的点的问题； (4) 解决实际问题．一些实际问题，如解决圆柱侧面两点间距离问题、航海问题、折叠问题、梯子下滑问题等，常直接或间接运用勾股定理及其逆定理． 直角 数轴 例1 在△ABC 中，已知 BD 是高，∠B＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c，且 a＝3，b＝4，求 BD 的长． 【解析】这是在三角形中已知两边长求高的问题，可用勾股定理先求出第三边再求解． 解：∵∠B＝90°，∴b 是斜边，则在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 又∵S△ABC＝ b•BD＝ ac， 考点一 勾股定理 考点讲练 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便．在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数 3，4，5 的干扰． 方法总结 针对训练 1．已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（　　） A.25 B.14 C.7 D.7 或 25 D 考点二 勾股定理的逆定理与勾股数 例2 已知在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1(n＞1)，判断△ABC 是否为直角三角形． 【解析】要证∠C＝90°，只要证△ABC 是直角三角形，并且 c 边最大．根据勾股定理的逆定理只要证明 a2＋b2＝c2 即可． 解：由于a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1， c2＝(n2＋1)2 ＝n4＋2n2＋1，从而 a2＋b2＝c2， 故可以判定△ABC 是直角三角形． 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断哪条边最大；②分别用代数方法计算出 a2＋b2 和 c2 的值( c 边最大)；③判断 a2＋b2 和 c2 是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三