第15章 轴对称图形与等腰三角形 小结与复习（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年八年级上册初二数学同步备课（沪科版）

小结与复习 第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 优翼数学教学课件（HK）八上 1.轴对称图形： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴. 2.轴对称： 平面内两个图形在一条直线的两旁，如果沿这条直线折叠，这两个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴. 一、轴对称图形与轴对称 要点梳理 3. 轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 轴对称图形是指( )个具有特殊形状的图形，只对( ) 个图形而言 轴对称是指( )个全等 图形的位置关系，必须涉及( )个图形 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分，那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称 如果把两个成轴对称的图形 看成一个整体，那么整个图形就是一个轴对称图形 一 一 两 两 4. 轴对称的性质： ① 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ② 反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 1. 线段中垂线的性质定理： 线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等. 2. 逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 二、线段的中垂线 1. 定理①： 等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角） 2.性质②： 等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边. （三线合一）. 推论： 等边三角形的三个角相等，每个内角都等于 60°. 三、等腰（边）三角形 3.等腰(边)三角形的判定及含 30° 角的直角三角形的性质： 判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边). 推论①：三个角都相等的三角形是等边三角形. 推论②：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 2. 判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 四、角平分线的性质与判定 考点一 轴对称图形与轴对称 例1 如图，△ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称，△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称. (1) 画直线 EF; (2) 直线 MN 与 EF 相交于点 O，试探究∠BOB″ 与直线 MN，EF 所夹锐角 α 的数量关系. A B C A′ B′ C′ A″ B″ C″ M N 【分析】连接△A′B′C′ 和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线 EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系. 考点讲练 A B C A′ B′ C′ A″ B″ C″ 解：（1）如图，连接 B′B″，作线段 B′B″ 的垂直平分线EF，则直线 EF 是△A′B′C′ 和△A″B″C″ 的对称轴； （2）连接 B″O，B′O，BO. 因为 △ABC 和△A′B′C′ 关于直线 MN 对称， 所以∠BOM =∠B′OM. 因为△A″B″C″ 和△A′B′C′ 关于直线 EF 对称， 所以∠B′OE =∠B″OE. 所以∠BOB″ = 2(∠B′OM + ∠B′OE) = 2α. F E O M N 轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会进行简单的图案设计，利用轴对称作图确定最短路线等. 方法总结 1. 下面的图形是轴对称图形吗? 如果是，你能指出它的对称轴吗? 针对训练 2. 如图所示，作出△ABC 关于直线 l 的对称图形． A B C A′ B′ C′ 解：△A′B′C′ 就是所求作的图形. l 考点二 线段的垂直平分线 例2 如图，AD 是 BC 的垂直平分线，点 C 在 AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？ 【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可. A B C D E 解：∵ AD 是 BC 的垂直平分线， ∴ AB = AC，BD = CD. ∵ 点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴ AC = CE，∴AB = AC = CE. ∴ AB + BD = DE. 3.如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的