专题11 直线的倾斜角与斜率6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)

专题11 直线的倾斜角与斜率6种常见考法归类 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为0°． (3)倾斜角α的范围为[0°，180°)． 2．直线的倾斜角与斜率 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上l两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝0°． (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝90°． (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝． 注：当x1≠x2且y1＝y2时，(3)式中的式子成立. (4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率，当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝． 注：（1）kAB＝＝kBA＝，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关． （2）直线的斜率与倾斜角不是一一对应，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在． （3）斜率k与倾斜角α之间的关系 3．直线的方向向量 (1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l． (2)如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定共线． (3)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量． (4)一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： ①当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°． ②当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝，tan θ＝． 4．直线的法向量 一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l． 如：如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，(2,1)是l的一个法向量。 5．求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°．②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°． 6.直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． 7.求斜率注意点 求斜率时要注意斜率公式的适用范围，若给出直线上两个点的坐标，首先要观察横坐标是否相同，若相同，则斜率不存在；若不相同，则可使用斜率公式．若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”． 8.求方向向量和法向量的方法 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量和方向向量垂直． (2)直线的方向向量和法向量不唯一． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 直线的倾斜角 考点二 直线的斜率 考点三 由直线的倾斜角或斜率求参数 考点四 斜率与倾斜角的关系变化 考点五 斜率公式的应用 考点六 求直线的方向向量或法向量 考点一 直线的倾斜角 1．（2023秋·全国·高二专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等 2．（2023秋·高二课时练习）如图，直线l的倾斜角为（　　）    A．60° B．120° C．30° D．150° 3．（2023·全国·高二专题练习）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　） A．0° B．30° C．60° D．90° 4．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点二 直线的斜率 5．（2023·上海·高二专题练习）已知下列命题：①直线的倾斜角为，则此直线的斜率为；②直线的斜率为，则直线的倾斜角为；③直线的倾斜角为，则.上述命题中不正确的是（