专题09 二次函数图像抛物线中特殊三角形的存在性-2023-2024学年九年级数学上册提优专题及提优测试卷（苏科版）

专题9 二次函数图像抛物线中特殊三角形的存在性（原卷版） 类型一 抛物线与等腰三角形 1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）； （3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）． 2．（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标； 3．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 4．（2023•凉山州）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）和B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣3x+3过抛物线的顶点P． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若直线x＝m（﹣5＜m＜0）与抛物线交于点E，与直线BC交于点F． ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标． 类型二 抛物线与直角三角形 5．（2023•常州）如图，二次函数yx2+bx﹣4的图象与x轴相交于点A（﹣2，0），B，其顶点是C． （1）b＝　 　； （2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD．将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点（k，0）作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围； （3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标． 6．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； ​ 7．（2023•内蒙古）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+3x+1交y轴于点A，直线yx+2交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），交y轴于点D，交x轴于点E． （1）求点D，E，C的坐标； （2）F是线段OE上一点（OF＜EF），连接AF，DF，CF，且AF2+EF2＝21． 求证：△DFC是直角三角形； 8．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 9．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E． （1）求直线AD及抛物线的表达式； （2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由； 10．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M（0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D． （1）当m＝1时，求点D的坐标； （2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式； 类型三 抛物线与等腰直角三角形 11．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点