5.1 二次函数（教学课件）数学苏科版九年级下册

苏科版·九年级下册 5.1 二次函数 第五章 二次函数 章节导读 学 习 目 标 1 2 探索自然界中的抛物线，并能根据实际问题抽象出二次函数 理解二次函数的概念，熟悉其一般形式，并能准确、快速地识别出二次函数 新知探究 公元前4世纪，希腊数学家梅里克缪斯在研究日晷时发现： 圆锥不仅可以切出一个圆、一个椭圆，还可以切出一个优美的未知图形。 横切 斜切 竖切 这个图形下究竟隐藏的是怎样一条曲线呢？ 新知探究 中世纪，意大利物理学家伽利略发现：把物体斜着抛出去后，其运动的轨迹正是这条曲线，而且还是自然界中物体普遍的运动轨迹，即抛物线。 新知探究 思 考 1. 正方体的表面积y和边长x之间有什么样的关系？ y = 6x2 ( x > 0 ) x x x x x x x 新知探究 思 考 2. n个球队比赛，每两个球队之间进行一场比赛，比赛的场次数m和球队数n之间有什么关系？ m = [( n - 1 ) + ( n - 1 ) + … + ( n - 1 ) ] = n ( n- 1 ) = n2 - n ( n为正整数 )。 n个 ( n - 1 ) 新知探究 思 考 3. 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量。如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划的所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ y = 20 ( 1 + x )2 = 20x2 + 40x + 20 ( x > 0 ) 新知探究 讨 论 观察这几个函数关系式，找出它们的共同点： y = 6x2 m = n2 - n y = 20x2 + 40x + 20 ① 关系式左边是因变量，右边是关于自变量的整式； ② 自变量的最高次数是2。 新知探究 二次函数的定义： 一般地，形如y = ax2 + bx + c ( a、b、c是常数，且a ≠ 0 ) 的函数， 叫做二次函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：( 1 ) 通常，自变量x是任意实数； ( 2 ) 实际问题中，要注意自变量x的取值范围， eg：y = 6x2 ( x > 0 )。 知识要点 新知探究 二次函数的要点： ( 1 ) ax2 + bx + c是整式； ( 2 ) 自变量x的最高次数是2，即a ≠ 0。 知识要点 典例分析 典例1 判断下列函数是否是二次函数。 ( 1 ) y = x2 + + 520； ( 2 ) y = 0x2 + 1314x + 520是二次函数吗？ ( 3 ) y = ( m - 1 ) x2 + 1314x + 520是二次函数吗？ 解：( 1 ) 不是，是分式，不是整式； ( 2 ) 不是， y = 0x2 + 1314x + 520 = 1314x + 520，是一次函数； 典例分析 典例1 判断下列函数是否是二次函数。 ( 1 ) y = x2 + + 520； ( 2 ) y = 0x2 + 1314x + 520是二次函数吗？ ( 3 ) y = ( m - 1 ) x2 + 1314x + 520是二次函数吗？ ( 3 ) 不一定，需要分类讨论： ① 若m - 1 = 0，即m = 1时， 则y = 1314x + 520，是一次函数； ② 若m - 1 ≠ 0，即m ≠ 1时，是二次函数。 方法技巧 解题关键：2个要点缺一不可 ① ax2 + bx + c是整式； ② 自变量x的最高次数是2， 即a ≠ 0。 注意：化简后，再判断 新知探究 知识要点 二次函数的一般形式： y = ax2 + bx + c ( a、b、c是常数，a ≠ 0 ) ax2叫做二次项， a叫做二次项系数 bx叫做一次项， b叫做一次项系数 c叫做常数项 典例分析 典例2 完成下列表格： 二次函数 化为一般式 二次项系数 一次项系数 常数项 y = x2 - 1 y = 2x2 - 5x y = -x2 + 4x - 2 y = x ( 19 - 2x ) - 24 y = x2 - 1 y = 2x2 - 5x y = -x2 + 4x - 2 y = -2x2 + 19x - 24 1 0 -1 2 -5 0 -1 4 -2 -2 19 -24 注意： 一定要化成一般式，再去找系数和常数项哦~ 方法技巧 新知探究 知识要点 y = ax2 + bx + c： 函数类型 参数取值 函数表达式 一次函数 a = 0 y = bx + c 二次函数 a ≠ 0 b = c = 0 y = ax2 b ≠ 0，c = 0 y = ax2 + bx b = 0，c ≠ 0 y = ax2 + c 题型探究 【例1】下列选项描述的y与x之间的关系是二次函数的是（　　） A．正方体的体积y与棱长x之间的关系 B．某商品在6月的售价为30元，7月和8月连续两次降价销售，平均每月降价的百分率为x，该商品8月的售价y与x之间的关系 C．距离一定时，汽车匀速行驶的时间y与速度x之间的关系 D．等腰三角形的顶角度数y与底角度数x之间的关系 解：A．y = x3，是三次函数； B．y = 30 ( 1 - x )2，是二次函数； C．y = ，是反比例函数； D．y = 180° - 2x，是一次函数。 二次函数的概念辨析 题型一 B 题型探究 【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（　　） ( 1 ) y = 2x2 - 4x + 3； ( 2 ) y = 4x3 - 3x + 7； ( 3 ) y = ( 2x - 3 ) ( 3x - 2 ) - 6； ( 4 ) y = x2 - 3x + 5； ( 5 ) y = ax2 + bx + c ( a、b、c为常数 )； ( 6 ) y = ( m2 + 1) x2 - 2x - 3 ( m为常数 )； ( 7 ) y = m2 + 4x - 3 ( m为常数 ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 解：( 1 ) √； ( 2 ) 是三次函数，×； ( 3 ) 整理得：y = 6x2 - 13x，√； ( 4 ) √； ( 5 ) a = 0时，不是二次函数，×； ( 6 ) m2 + 1 > 0，√； ( 7 ) 整理得：y = 4x + ( m2 - 3 )， 是一次函数，×。 二次函数的概念辨析 题型一 C 题型探究 【例3】下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，-1，0的是（　　） A．y = ( x - 2 ) ( x + 1 ) B．y = ( x - 1)2 -2x2 - 1 C．y = ( x + 2 ) ( x - 3 ) + 6 D．y = ( 2x - 1 )2 - 3 ( x2 - x ) 二次函数的系数判断 题型二 解：A．y = x2 - x - 2 1，-1，-2 × B．y = -x2 - 2x -1，-2，0 × C．y = x2 - x 1，-1，0 √ D．y = x2 - x + 1 1，-1，1 × C 根据二次函数的概念求参 题型三 题型探究 【例4】 ( 1 ) 若y = ( 2 - m ) x2 + m2 - 2是二次函数，则m不等于（　　） A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定 ( 2 ) 当m = _____时，y = ( m - 1 )x+1 + ( m + 1 ) x + 2是关于x的二次函数。 解：( 1 ) 2 - m ≠ 0，即m ≠ 2； ( 2 ) 由题意可得：，即，解得：m = -1。 B -1 注意：m - 1 ≠ 0千万不能忘！ 根据二次函数的概念求参 题型三 题型探究 【例5】m满足什么条件时，y = m2 ( x2 + 2x ) - ( 2m + 3 ) x2 + ( x +1 )是关于x的二次函数？ 解：y = m2 ( x2 + 2x ) - ( 2m + 3 ) x2 + ( x +1 ) = m2x2 + 2m2x - 2mx2 - 3x2 + x + 1 = ( m2 - 2m - 3 )x2 + ( 2m2 + 1 ) x + 1， 由题意可得：m2 - 2m - 3 ≠ 0， 即( m + 1 ) ( m - 3 ) ≠ 0， ∴m ≠ -1且m ≠ 3。 课堂小结 二次函数的定义： 一般地，形如y = ax2 + bx + c ( a、b、c是常数，且a ≠ 0 ) 的函数， 叫做二次函数，其中x是自变量，y是因变量。 二次函数的要点： ( 1 ) ax2 + bx + c是整式； ( 2 ) 自变量x的最高次数是2，即a ≠ 0。 课堂小结 感谢聆听! $$