第2章 教考衔接2 巧用均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

均值不等式≤(a，b>0)的应用比较广泛，应用技巧也比较丰富，常见的有连续运用均值不等式求最值，利用均值不等式求参数范围，常数“1”的代换证明不等式，另外均值不等式也常和其他知识交汇考查．

题型一　连续用均值不等式求最值

　已知a>b>0，求a2＋的最小值．

[解析]　由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤＝.

∴a2＋≥a2＋≥2＝4，

当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号．

∴a2＋的最小值为4.

[规律方法]　

多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法．

[触类旁通]

1．已知a>0，b>0，求＋＋2的最小值．

解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4，

当且仅当a＝b＝1时，等号成立．

∴＋＋2的最小值为4.

题型二　利用均值不等式求参数的值或范围

　已知x，y∈(0，＋∞)，若不等式＋≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)    B．[，＋∞)

C．[2，＋∞)    D．[2，＋∞)

[解析]　x，y∈(0，＋∞)，不等式＋≤a恒成立，所以a>0，

两边平方得x＋2＋2y≤a2，

a2≥2＋恒成立，需a2≥，

而≤＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立，a2≥4，∴a≥2.

[答案]　C

[规律方法]　

求参数的值或取值范围的一般方法

(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．

(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围．

[触类旁通]

2．(1)∀x∈(1，＋∞)，不等式2x＋m＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－8)    B．(－8，＋∞)

C．(－∞，－6)   D．(－6，＋∞)

(2)若关于x的不等式x2－ax＋2>0在区间[1，5]上恒成立，则a的取值范围为(　　)

A．    B．

C．(－∞，3)   D．

解析　(1)不等式2x＋m＋>0化为：

2(x－1)＋>－m－2，

∵x>1，∴2(x－1)＋≥2×＝4，当且仅当x＝2时取等号．

∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，

∴－m－2<4，解得m>－6，故选D.

(2)当x∈[1，5]时，由x2－ax＋2>0可得a<x＋，则a<，