第2章 等式与不等式 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

 

(一) 一元二次方程的解及根与系数的关系

应用一元二次方程根与系数的关系时的注意点

(1)当一元二次方程不是一般形式时，要先化为一般形式；

(2)应用时，不要漏掉“－”号；

(3)应用根与系数的公式前，首先确定判别式的值是否非负，判别式的值非负是应用根与系数的公式的前提．

　已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2.若＋＝4m，则m的值是(　　)

A．2　　　　　　　 B．－1

C．2或－1    D．不存在

[解析]　∵关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2，

∴

解得m＞－1且m≠0.

∵x1，x2是方程mx2－(m＋2)x＋＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，

∵＋＝4m，∴＝4m，∴m＝2或－1，

∵m＞－1，∴m＝2.故选A.

[答案]　A

(二)不等式的性质及应用

在使用不等式时，一定要弄清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘．可乘性中的“c的符号”等都需要注意．

[题组训练]

1．(多选)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)

A．若a>b，c>d，则ac>bd

B．若ab>0，bc－ad>0，则－>0

C．若a>b，c>d，则a－d>b－c

D．若a>b，c>d>0，则>

解析　若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错误；

若ab>0，bc－ad>0，则>0，

化简得－>0，故B正确；

若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C正确；

若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误．

答案　BC

2．(多选)对于实数a，b，c，下列命题正确的是(　　)

A．若a>b，则ac<bc

B．若ac2<bc2，则a>b

C．若a<b<0，则a2>ab>b2

D．若a>b，>，则a>0，b<0

解析　A项，若a>b，则ac<bc，当c≥0时不成立，排除；

B项，若ac2<bc2，故c2>0，则a<b，不正确；

C项，若a<b<0，则a2－ab＝a(a－b)>0，

ab－b2＝b(a－b)>0，∴a2>ab>b2，正确；

D项，若a>b，－＝>0，∴ab<0，

∴a>0，b<0，正确．

答案　CD

3．已知a>0，b>0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．

解析　－(a＋b)＝－b＋－a

＝＋＝(a2－b2)

＝(a2－b2)＝，

∵a>0，b>0，且a≠b，

∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，

∴－(a＋b)>0，即＋>a＋b.

(三) 不等式的解集

(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．

(2)对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．

(3)对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要做到不重不漏．

　解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R).

[解析]　当a＝0时，不等式－2x＋4>0的解为x<2；

当a≠0时，不等式对应方程的根为x＝或x＝2，

①当a<0时，不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0(a∈R)，即(－ax＋2)(x－2)<0的解集为；

②当0<a<1时，不等式(ax－2)(x－2)>0的解集为(－∞，2)∪；