第2章 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

第2课时　均值不等式的应用

题型一　利用均值不等式变形求最值一题多解

　已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．

[解析]　法一　∵x>0，y>0，＋＝1，

∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋≥10＋2＝18，

当且仅当即时，等号成立，

故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.

法二　∵x>0，y>0，＋＝1，8y＋x＝xy，

∴x＝，∴y－1>0.

∴x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18，

当且仅当＝2y－2，即y＝3，x＝12时，等号成立，

x＋2y的最小值为18.

[母题变式]

　若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．

解析　∵x>0，y>0，

∴＋＝(x＋2y)

＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.

当且仅当即时取等号，

∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.

[规律方法]　

利用均值不等式的变形求最值的策略

(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件．

(2)特别注意“1”的代换．

[触类旁通]

1．设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．

解析　法一　由2x＋8y－xy＝0，得

y(x－8)＝2x.

∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，

当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．

∴x＋y的最小值是18.

法二　由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝18，当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．

∴x＋y的最小值是18.

题型二　均值不等式的实际应用

　某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元满足关系式m＝3－(k为常数).如果不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)求出常数k的值，并将2023年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；

(2)该厂家2023年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

[解析]　(1)由题意，x≥0，

不搞促销活动(即年促销费用x＝0)，则该产品的年销售量只能是1万件，

在m＝3－中，k为常数，∴1＝3－，解得k＝2，∴m＝3－，

∵厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍，

∴每件产品年平均成本为，

∴利润：y＝1.5m·－＝－＋29，

即y＝－＋29(x≥0).

(2)由题意及(1)得在y＝－＋29(x≥0)中，

y＝－＋29≤－2＋29＝－8＋29＝21，

当且仅当＝x＋1即x＝3时等号成立，

∴该厂家2023年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．

[素养聚焦]　数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养在本题求解过程中得以体现．

[规律方法]　

利用均值不等式解决实际问题的步骤

先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).

[触类旁通]

2．某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用P(万元)和宿舍与工厂的距离x km的关系为P＝，若距离为1 km时，测算宿舍建造费用为40万元．为了交通方便，工厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为6万元/km，设y为建造宿舍与修路费用之和．

(1)求k的值．

(2)求y关于x的表达式．

(3)宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用y最小，并求最小值．

解析　(1)由题意，得40＝，解得k＝200.

(2)y＝P＋6x＝＋6x(0≤x≤5).