第1章 阶段测评(二) 常用逻辑用语-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

阶段测评(二)　常用逻辑用语

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．命题“ ∀x∈(－1，5)，x2＋1<x”的否定为(　　)

A．∃x∈，x2＋1≥x

B．∃x∈，x2＋1>x

C．∃x∈，x2＋1>x

D．∃x∈，x2＋1≥x

解析　全称量词命题的否定是存在量词命题，并且否定结论，即命题“∀x∈(－1，5)，x2＋1<x”的否定是“∃x∈(－1，5)，x2＋1≥x”．

答案　D

2．下列命题是真命题的一项为(　　)

A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2<0

C．∀x∈Q，x2－2≠0 D．∃x∈Q，x2－2＝0

解析　当x＝0时，x2＝0，所以选项A是假命题；

因为∀x∈R，x2≥0，所以∃x∈R，x2<0，是假命题，即选项B是假命题；

由x2－2＝0⇒x＝±，而±是无理数，所以选项C是真命题，选项D是假命题．

答案　C

3．设a∈R，则“a＝－1”是“a2＝1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析　由a2＝1，可得a＝±1，故“a＝－1”是

“a2＝1”的充分不必要条件．

答案　A

4．“a>3”是“a>5”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

解析　a>3a>5，不满足充分性；a>5⇒a>3，满足必要性．

所以“a>3”是“a>5”的必要不充分条件．

答案　B

5．“x＝－1”是“x2－2x＋3＝0”的(　　)

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析　因为x2－2x＋3＝0的判别式Δ＝4－12＝－8<0，

所以方程x2－2x＋3＝0无实数根，

所以x＝－1是x2－2x＋3＝0的既不充分也不必要条件．

答案　D

6．已知命题p：∀x∈R，x2－2x－a>0，若p为真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞,－1)　　　　　 B．(－1, ＋∞)

C．[－1, ＋∞)    D．(－∞,－1]

解析　由题设Δ＝(－2)2－4×(－a)＝4＋4a<0，可得a<－1.

答案　A

7．(多选)命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥2    B．a≥5

C．a>5    D．a≥6

解析　若命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题，则a≥(x2＋1)max＝5，

且{a|a>5}{a|a≥5}，{a|a≥6}{a|a≥5}，

所以，命题“∀x∈[1，2]，x2＋1－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5或a≥6，

故选CD.

答案　CD

8．(多选)下面命题中正确的是(　　)

A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件

B．命题“任意x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定是“存在x∈R，则x2＋x＋1≥0”

C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的必要不充分条件

D．设a，b∈R，则“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件

解析　对于A，<1⇔>0⇔a(a－1)>0⇔a<0或a>1，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；

对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意x∈R，则x2＋x＋1<0”的否定是“存在x∈R，则x2＋x＋1≥0”，故B正确；

对于C，“x≥2且y≥2”⇒“x＋y≥4”，但“x＋y≥4”推不出“x≥2且y≥2”，

所以“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的充分不必要条件，故C错误；

对于D，ab≠0⇔a≠0且b≠0，则“a≠0且b≠0”是“ab≠0”的充要条件，故D正确；故选ABD.

答案　ABD

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．若命题“∃x∈R，2－x2>m”是真命题，则实数m的取值范围是________．

解析　y＝2－x2的最大值为2，根据题意，2>m，即m的取值范围是(－∞，2).

答案　(－∞，2)

10．马上进入红叶季，香山公园的游客量将有所增加，现在公园采取了“无预约，不游园”的措施，需要通过微信公众号提前预约才能进入公园．根据以上信息，“预约”是“游园”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或者“既不充分也不必要”).

解析　依题意，没有预约，一定不能游园，即游园的人必须是提前预约的，游园可推出预约，而预约了，可能不游园，所以“预约”是“游园”的必要不充分条件．

答案　必要不充分

11．已知命题p：0<x<a，命题q：－1<x<2，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值集合是________．

解析　由题意知，

p：0<x<a，q：－1<x<2，p是q的充分不必要条件，

所以集合{x|0<x<a}是集合(－1，2)的真子集，

当a≤0时，集合{x|0<x<a}为空集，符合题意；

当a>0时，则a≤2，得0<a≤2，

综上，a≤2.

答案　{a|a≤2}

12．关于x的方程x2－10x＋k＝0有两个异号根的充要条件是________．

解析　设方程x2－10x＋k＝0的两个根为x1，x2，

所以所以k<0.

当k<0时，方程有两个不同的实根；

当方程有两个不同的实根时，k<0.

所以关于x的方程x2－10x＋k＝0有两个异号根的充要条件是k<0.

答案　k<0