第1章 教考衔接1 集合的新定义问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册人教B版（教师用书）

与集合相关的创新问题，其创新性主要体现在新定义与新运算上，一般通过给出一个新概念或约定一种新运算或者给出几个新的模型等，创设一种全新的问题情境，要求独立获取信息、加工信息、确定结果．这类题的主要解题策略是：在认真阅读理解题意的基础上，紧扣条件，抓住关键，实现新的信息向已有的集合知识的转化，解决问题，得到结论． 题型一　定义新集合 　设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y).对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z等于(　　) A．(X∪Y)∩∁UZ　　　 B．(X∩Y)∪∁UZ C．(∁UX∪∁UY)∩Z D．(∁UX∩∁UY)∪Z [解析]　依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)， (X*Y)*Z＝∁U[(X*Y)∩Z]＝∁U[∁U(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁UZ)＝(X∩Y)∪(∁UZ). [答案]　B [规律方法]　 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决. [触类旁通] 1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(　　) A.3 B．6 C．8 D．10 解析　由x∈A，y∈A，x－y∈A，得(x，y)可取如下：(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)，故集合B中所含元素的个数为10. 答案　D 题型二　定义新运算 　约定与⊕是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数a，b，有ab＝ab，a⊕b＝b(a2＋b2＋1).设－2<a<b<2，a，b∈Z，集合A＝，则集合A＝________．(用列举法表示) [解析]　根据运算法则，得x＝2(ab)＋＝2ab＋a2＋b2＋1＝(a＋b)2＋1.(*) 当a＝－1时，b＝1(b＝0不符合题意舍去)； 当a＝0时，b＝1.把与分别代入(*)式，得x＝1或x＝2.故A＝{1，2}． [答案]　{1，2} [规律方法]　 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的． [触类旁通] 2．设集合M＝，N＝，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________． 解析　由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合(如图所示)，且集合M，N的“长度”分别为，， 因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少．由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝. 答案　 题型三　定义新性质 　在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4，给出如下三个结论： ①2 021∈[1]； ②－3∈[3]； ③若整数a，b属于同一“类”，则a－b∈[0]； ④若a－b∈[0]，则整数a，b属于同一“类”． 其中，正确结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　对于①，2 021除以5等于404余1，所以2 021∈[1]，故①正确； 对于②，－3＝－5＋2，即－3除以5等于－1余2，所以－3∈[2]，故②错误； 对于③，因为a，b是同一“类”，可设a＝5n1＋k，n1∈Z，b＝5n2＋k，n2∈Z，则a－b＝5(n1－n2)，能被5整除， 所以a－b∈[0]，故③正确； 对于④，若a－b∈[0]，则可设a－b＝5n，n∈Z，即a＝5n＋b，n∈Z，不妨令b＝5m＋k，m∈Z，k＝0，1，2，3，4，则a＝5n＋5m＋k＝5(m＋n)＋k，m∈Z，n∈Z，所以a，b属于同一“类”，所以④正确． [答案]　C [规律方法]　 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题． [触类旁通] 3．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论： ①2 022∈[2]； ②－2∈[2]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]. 其中，正确结论的序号是________． 解析　①∵2 022÷5＝404……2，∴2 022∈[