【数学思想】第1讲：转化思想在立体几何中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第1讲 转化思想在立体几何中的应用 转化这种主要的思维策略在高中数学有着广泛的应用，转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。 立体几何作为高中数学教学的重要内容之一，这部分蕴含了丰富的数学思想方法，教学中渗透有关的思想方法，有助于学生降低难度。转化思想在立体几何中主要体现在将空间问题转化为平面问题，涉及到几何体中的最值问题、等积转化问题以及点线面的转化等问题 【应用一】转化思想在空间几何体中距离最值得应用 我们在高考复习及高考题中也常常遇见几何中某两点的最值问题，对于此类问题可以采取的方式就是对几何体进行展开。例如下面这道例题： 【例1.1】（2022·广东佛山·高三期末）长方体中，，E为棱上的动点，平面交棱于F，则四边形的周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 【思维提升】把曲面上的最短距离问题利用展开图转化为平面上两点间的距离问题，从而使问题得到解决。这是求曲面上最短距离的一种常用方法。 【变式1-1】（多选）（2022·山东青岛·一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为，，母线长为2，为母线中点，则下列结论正确的是（       ） A．圆台母线与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为 C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从到的最短路径的长度为5 【变式1-2】 （2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）（多选题）长方体中，，，，则（    ） A．到平面的距离为 B．到平面的距离为 C．沿长方体的表面从到的最短距离为 D．沿长方体的表面从到的最短距离为 【变式1-3】．如图所示，在正三棱柱中，，，由顶点沿棱柱侧面(经过棱)到达顶点，与的交点记为，则从点经点到的最短路线长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式1-3】（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为，是山坡上一点，且.现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______. 【应用二】转化思想在空间几何体中线线角、线面角、面面角的应用 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 空间几何体中线线角、线面角、面面角通常由两种处理方式，一是通过建系，转化为向量进行解决，二是运用传统的方式分别把角表示出来。 【例2-1】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体，，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，，，E是PB的中点． (1)求证：平面平面PBC； (2)若二面角的余弦值为，求a的值； (3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 【思维提升】求角度的问题我们有两种方法：几何法与向量法，在选择方法的过程中我们一般有如下原则: （1）方便建系的题目适合向量法，如长方体，底面容易找到垂直的锥体等 （2）方便做“投影”的题目适合用几何法，如几何体高线上的点与底面连线等 【变式2-1】．（2023·浙江·校联考三模）在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）（多选题）如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（    ） A．该圆台的体积为 B．直线SA与直线所成角最大值为 C．该圆台有内切球，且半径为 D．直线与平面所成角正切值的最大值为 【变式2-3】．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. （1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F； （2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值. 【整体点评】 (2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问