专题1.7 空间向量与立体几何专题中的3个重难点-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.7 空间向量与立体几何专题中的3个重难点 【考点1：空间向量法求空间中的位置关系】 1 【考点2：空间向量法求空间中的距离】 4 【考点3：空间向量法求空间中的角】 7 【押题专练】 12 【考点1：空间向量法求空间中的位置关系】 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的平行关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 【知识点：空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系】 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 1．（多选）（2023秋·浙江绍兴·高二校考）如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（    ）    A． B．平面 C．线段长度的最大值为1 D．三棱锥体积不变 2．（2023秋·高二课时练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长均为，点是棱的中点．求证：平面平面．    3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；    4．（2023秋·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是PC的中点．证明：PD⊥平面ABE.    5．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，三角形为正三角形，且侧面底面.分别为线段的中点.    (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【考点2：空间向量法求空间中的距离】 【知识点：空间向量法求空间中的距离】 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 1．（2023湖北省黄冈市高二上学期期中数学试题）已知正方形的边长为4，平面，，E是中点，F是靠近A的四等分点，则点B到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（    ）．    A． B． C． D． 3．（2023·全国·高二课堂例题）已知正方体的棱长为1，求点到直线的距离． 4．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，四棱锥中，底面是一个边长为1的正方形，面．求点D到平面的距离．    5．（2023·全国·高二课堂例题）已知正方体中，E，M，N分别为的中点，判断直线与平面的关系．如果平行，求出与平面之间的距离；如果不平行，说明理由． 6．（2023秋·浙江台州·高二校联考期中）如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点， (1)求证： (2)求点到平面的距离； 7．（2023·全国·高二专题练习）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【考点3：空间向量法求空间中的角】 【知识点：空间向量法求空间中的角】 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. ③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 1．（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知四棱锥中，面，为直角梯形，，且，求平面与所成角的正弦值． 2．（2022秋·全国·高二期末）如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，    (1)求证：MN平面PAD； (2)求PD与平面PMC所成角的正弦值. 3．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，梯形ABCD中，，，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的投影O恰在AC上.    (1)求证：平面BCD； (2)求异面直线BC与AD所成的角； 4．（2023秋·宁夏银川·高二校考阶段练习）如图，四棱锥中，平面平面，平面，，．点为的中点，点在上，且．    (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 5．（2023秋·天津河北·高三天津二中校考开学考试）如图，四边形是正方形，平面，，，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 6．