第2章 直线和圆的方程 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、直线的方程

1．直线方程的五种形式在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．

2．求直线方程的常用方法

直接法：直接选用恰当的直线方程形式，写出结果．

待定系数法：即先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题中的其他条件求出待定系数．

　根据下列条件，求直线方程：

(1)已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1.

(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.

[自主解答]　(1)设所求直线的方程为＋＝1.

依题意，得Error!

解得Error!或Error!

故所求直线方程是＋y＝1或＋＝1，

即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.

(2)设所求直线的方程为(3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0，

即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.

由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得

－·＝－1，解得λ＝.

故所求直线的方程是3x－y＋2＝0.

二、圆的方程

1．几何法：通过研究圆的性质及直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．

2．代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，其一般步骤是：

(1)根据题意选择方程的形式：标准形式或一般形式；

(2)利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；

(3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程．

　求经过两点P(－2,4)，Q(3，－1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程．

[自主解答]　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

将P，Q两点的坐标分别代入，得

Error!①

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.

由已知，得|x1－x2|＝6(其中x1，x2是方程x2＋Dx＋F＝0的两根)，所以D2－4F＝36.②

①②联立组成方程组，

解得Error!或Error!

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.

三、直线、圆之间的位置关系

1．两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，如果用一般式方程来判断可以避免讨论斜率不存在的情况．

2．直线与圆的位置关系有三种，即相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．

3．圆与圆的位置关系有三种，即相交、相离(外离和内含)、相切(内切和外切)，其判断方法有两种：代数法(通过联立两个圆的方程，得到关于y或x的一元二次方程，根据方程解的个数来判断)、几何法(根据两圆圆心距与两圆的半径的和或差之间的关系判断)．

角度1　两条直线的位置关系

　设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：(m－1)x－y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[自主解答]　当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不符合要求，故必要性成立．

[答案]　C

角度2　直线与圆的位置关系

　已知点P(－2,2)在圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上，直线l与圆O交于A，B两点．

(1)r＝________；

(2)如果△PAB为等腰三角形，底边AB＝2，求直线l的方程．

[自主解答]　(1)因为点P(－2,2)在圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)上，所以r＝2.

(2)因为△PAB为等腰三角形，且点P在圆O上，所以PO⊥AB.

因为PO的斜率k＝＝－1，

所以可设直线l的方程为y＝x＋m.

由Error!得2x2＋2mx＋m2－8＝0，

所以Δ＝4m2－8×(m2－8)＝64－4m2＞0，

解得－4＜m＜4.

设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

可得x1,2＝＝.