第2章 阶段测评(三) 直线与圆-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

阶段测评(三)　直线与圆

一、选择题(每小题5分，共50分)

1．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，则D，E分别为(　　)

A．4，－6  B.－4，－6

C．－4,6  D.4,6

解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，

又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，

∴－＝－2，－＝3，

∴D＝4，E＝－6.

答案　A

2．已知圆C以点(2，－3)为圆心，5为半径，则点M(5，－7)与圆C的位置关系是(　　)

A．在圆内  B.在圆上

C．在圆外  D.无法判断

解析　点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆C上．

答案　B

3．经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5的切线，则切线方程为(　　)

A.x＋y－5＝0  B.x＋y＋5＝0

C．2x＋y－5＝0  D.2x＋y＋5＝0

解析　∵M(2,1)在圆上，

∴切线与MO垂直．

又kMO＝，∴切线斜率为－2.

又过点M(2,1)，

∴y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.

答案　C

4．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13

B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13

C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52

D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52

解析　由中点坐标公式得直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.

答案　A

5．已知圆C：x2＋y2－2x－2my＋m2－3＝0关于直线l：x－y＋1＝0对称，则直线x＝－1与圆C的位置关系是(　　)

A．相切  B.相交

C．相离  D.不能确定

解析　由已知得C：(x－1)2＋(y－m)2＝4，即圆心C(1，m)，半径r＝2，因为圆C关于直线l：x－y＋1＝0对称，所以圆心(1，m)在直线l：x－y＋1＝0上，所以m＝2.

由圆心C(1,2)到直线x＝－1的距离d＝1＋1＝2＝r知，直线x＝－1与圆C相切．

故选A.

答案　A

6．已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则|MN|的最大值是(　　)

A．5  B.7

C．9  D.11

解析　由题意知圆C1的圆心C1(－3,1)，半径长r1＝2；圆C2的圆心C2(1，－2)，半径长r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5>r1＋r2＝4，所以两圆相离，从而|MN|的最大值为5＋2＋2＝9.故选C.

答案　C

7．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　)

A．1  B.

C．2  D.2

解析　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.

因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.

又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，

所以弦长|AB|＝2＝2＝2.

又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.

答案　A

8．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是(　　)

A．0<m<1  B.m<1

C．－2<m<1  D.－3<m<1

解析　圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.

因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝<，所以|1＋m|<2，解得－3<m<1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得A，C符合．故选AC.

答案　AC

9．(多选)已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，若直线l：x＋y－m＝0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则直线l的方程是(　　)

A．x＋y－2＝0  B.x＋y－4＝0

C．x＋y－8＝0  D.x＋y－10＝0

解析　根据题意，圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝72，其圆心C(3,3)，半径r＝6，若直线l：x＋y－m＝0是垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为2，则有d＝＝2，变形可得|6－m|＝4，解得m＝2或10，即l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－10＝0.

答案　AD

10．(多选)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则(　　)

A．直线l与圆C的位置关系无法判定

B．当k＝1时，圆C上的点到直线l的最远距离为＋2

C．当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离为1时，k＝0

D．若直线l与圆C相交于M，N两点，则线段MN的中点的轨迹是一个圆

解析　由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心为C(3,4)，半径为2.对于选项A，直线l的方程可化为y－3＝k(x－4)，则直线l恒过定点A(4,3)，此点在圆C内，故直线l与圆C相交，故A错误；对于选项B，当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，则圆心C(3,4)到直线l的距离为＝，所以圆C上的点到直线l的最远距离为＋2，故B正确；对于选项C，当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离为1时，圆心C(3,4)到直线l的距离为1，由＝1，解得k＝0，故C正确；对于选项D，直线l恒过定点A(4,3)，设线段MN的中点为P，连接CP，CA，则PC⊥PA，故点P的轨迹是