第2章 教考衔接(2) 学会对称、化曲为直 直线中的对称与最值问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、真题展示

1．(2020·山东卷)直线2x＋3y－6＝0关于点(－1，2)对称的直线方程是(　　)

A．3x－2y－10＝0  B.3x－2y－23＝0

C．2x＋3y－4＝0  D.2x＋3y－2＝0

 

2．(2022·新高考全国卷Ⅱ)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．

二、真题溯源

1．(教科书第102页第1(3)题)与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程为(　　)

A．3x＋4y－5＝0  B.3x＋4y＋5＝0

C．3x－4y＋5＝0  D.3x－4y－5＝0

2．(教科书第103页第12题)已知直线l：x－2y－8＝0和A(－2,0)，B(2,4)两点，若直线l上存在点P使得PA|＋|PB|最小，求点P的坐标．

三、解法探究

由平面几何知识(三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．

类型一　中心对称问题

(1)点关于点对称

点P(x0，y0)关于点A(m，n)的对称点P′(x′，y′)可利用中点坐标公式求得，由Error!得Error!

(2)直线关于点对称

直线Ax＋By＋C＝0关于点P(x0，y0)的对称直线的方程的求法：求出直线上的两个特殊点M，N关于点P的对称点M′，N′的坐标，则直线M′N′的方程即为所求的直线方程．

　(一题多解)求直线3x－y－4＝0关于点(2，－1)对称的直线l的方程．

[自主解答]　解法一　设直线l上任意一点M的坐标为(x，y)，则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，

且M1在直线3x－y－4＝0上，

所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，

即3x－y－10＝0.

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

解法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)，

则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)，点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)，

可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，

即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

解法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，

则可设l的方程为3x－y＋C＝0(C≠－4)．

在直线3x－y－4＝0上取一点(0，－4)，

则点(0，－4)关于点(2，－1)的对称点(4,2)在直线3x－y＋C＝0上，

所以3×4－2＋C＝0，所以C＝－10，

所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.

类型二　轴对称问题

(1)点关于直线对称

设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直，

即Error!解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．

(2)直线关于直线对称

(1)若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程．

(2)若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离求解．

　已知直线l：y＝3x＋3，求：

(1)点P(4,5)关于l对称的点的坐标；

(2)直线y＝x－2关于l对称的直线的方程．

[自主解答]　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，

即Error!

解得Error!

所以点P′的坐标为(－2,7)．

(2)解方程组Error!得Error!