第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

1.1.2　空间向量的数量积运算 学业标准 素养目标 1.了解空间向量的夹角的概念及表示方法． 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决夹角与距离问题．(难点) 在理解并应用空间向量的数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和数学运算素养. [教材梳理] 导学1 空间向量的夹角 　平面内两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？ [提示]　在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 规定：0≤〈a，b〉≤π. ◎结论形成 1．夹角的定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．夹角的范围：[0，π]． 3．两向量垂直：如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 导学2 空间向量的数量积 　平面向量的数量积是如何定义的？ [提示]　已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ◎结论形成 1．空间两个向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间两向量的数量积的性质 向量数量积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a||b| 反向：a·b＝－|a||b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2； |a|＝； |a·b|≤|a||b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ (3)数量积的运算律 结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 导学3 投影向量和向量所在直线与平面所成的角 1.投影向量 如图所示，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． 2．向量所在直线与平面所成的角 如图所示，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若向量与的夹角为α，直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (2)向量的投影一定是正数．(　　) (3)a·b＝a·c⇒b＝c.(　　) (4)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1在向量e2上的投影向量为e1.(　　) 解析　(1)×.不一定．可能是α，也可能是π－α. (2)×.向量a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉，而cos〈a，b〉∈[－1,1]，所以投影可正可负也可以是零． (3)×.a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直． (4)×.向量e1在向量e2上的投影向量为1×cos 60°×e2＝e2. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　) A．30°　　 B.60°　　　 C．150°　　 D.120° 答案　D 3．(多选)下列各命题中，正确的命题为(　　) A.＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a 答案　ABC 4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________. 解析　cos〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝π. 答案　π 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；(2)·； (3)·；(4)·. [自主解答]　(1)·＝· ＝||||cos〈，〉 ＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝－· ＝－×cos 60°＝－. (4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. [规律方法] 求向量的数量积的两种情况和方法 (1)已知向量的模和夹角：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，并结合运算律进行计算． (2)在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． [触类旁通] 1．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1