1.1.2 空间向量的数量积运算（教师用书Word）-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版 2019）

1．1.2　空间向量的数量积运算 [学习目标] 1.掌握空间向量的数量积，发展数学抽象的核心素养(重点).2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，增强数学抽象和直观想象的核心素养.3.数量积在空间中的简单应用，提升逻辑推理与数学运算的核心素养(重难点)． 要点一　空间向量的夹角 1．定义 如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 2．向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π].如果〈a，b〉＝，那么称向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 思考：当〈a，b〉＝0和〈a，b〉＝π时，向量a与b有什么关系？ 提示　当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 要点二　空间向量的数量积 1．定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉. 2．性质 (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. (2)若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.特别地，a·a＝|a|2，|a|＝. (3)cos〈a，b〉＝. (4)|a·b|≤|a|·|b|. 3．运算律 (1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 思考：数量积的运算满足结合律吗？ 提示　数量积的运算不满足结合律，也不满足消去律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，a·b＝a·c⇒/ b＝c. 要点三　向量a的投影和投影向量 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉·，向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 2．如图(2)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 　　 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　) (2)若向量与的夹角为α，则直线AB与CD所成的角也为α.(　　) (3)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (4)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) 解析 (1)错误．向量与的夹角和向量与的夹角互补，而不是相等． (2)错误．不一定，可能是α，也可能是π－α. (3)错误．(a·b)·c是与c共线的向量，而a·(b·c)是与a共线的向量． (4)正确．由数量积的性质知正确． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　数量积的计算 规律总结 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算． (2)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． 【例题1】 已知三棱锥O－ABC的各个侧面都是等边三角形，且边长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求： (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 解析 (1)·＝||||cos〈，〉＝||·||cos∠AOB＝2×2×cos 60°＝2. (2)·＝||||cos〈，〉＝||||·cos 180°＝1×2×(－1)＝－2. (3)·＝·(－)＝·－·＝2×2×cos∠BOC－2×2×cos∠BOA＝0. (4)·＝·＝·＝·(－)＝(2－·)＝×(22－2)＝1. 【变式1】 如图，在单位正方体ABCD－A′B′C′D′中，设＝a，＝b，＝c，求： (1)a·(b＋c)； (2)(a＋b)·(b＋c)； (3)(a＋b＋c)·(a＋b＋c)． 解析 (1)由题意知，|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝c·b＝0， 所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0. (2)(a＋b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b2＋b·c＝1. (3)(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋a·c＋b·c)＝3. 探究二　用数量积求角和距离 规律总结 (1)找两向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． (2)利用数量积求异面直线所成角的方法步骤：①根据题设条件在两异面直线上取两个向量；②将求异面直线所成角的问题转化为求向量的夹角问题；③利用数量积求角的大小．注意异面直线所成角的范围是. (3)求空间两点间的距离(线段的长可看成线段两端点间的距离)可以利