1.1.2 空间向量的数量积运算8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 二、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质：①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 思考　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 答案　不能，向量没有除法． 三、向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． （一） 数量积的计算 1、空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 2、空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 3、求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. 题型1：空间向量数量积概念辨析 1-1．（2024高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 1-2．（2024高三下·广东广州·阶段练习）已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 1-3．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 1-4.．（2024高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 题型2：空间向量数量积的计算 2-1．（2024高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则 ． 2-2．（2024高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 2-3．（2024高二上·福建福州·期末）如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 题型3：空间向量数量积的最值问题 3-1．（2024高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ． 3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 3-3．（2024高二上·北京昌平·期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4：利用空间向量数量积求投影向量 4-1．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 4-2．（2024高二上·山东泰安·期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是 ． 4-3．（2024高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （二） 利用数量积求角和模 1、求向量的夹角 (1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． (2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成的角的范围)． 2、求向量的模 （1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． （2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． （3）应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 题型5：利用空间向量数量积求角 5-1．（2024高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求： （1）的长；   （2）与AC所成的角的余弦值． 5-2．（2024高二·全国·课后作业）空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 题型6：利用空间向量数量积求模. 6-1．（2024高一下·浙江温州·期中）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 6-2．（2024高二下·四川成都·期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 6-3．（2024高二上·山东青岛·期中）四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（    ） A． B． C．3 D． （三） 利用数量积证明垂直问题 1、利用数量积证明垂直问题: (1)将所证明垂直的线段设为向量， (2)用已知向量表示未知向量， (3)利用数量积运算完成判定. 2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 题型7：利用数量积证明垂直问题 7-1．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 7-2．（2024高二上·河南周口·阶段练习）如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 7-3．（2024高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 题型8：利用空间向量垂直求参数 8-1．（2024高二上·湖南·阶段练习）在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 8-2．（2024高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 8-3．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 一、单选题 1．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 3．（2024高二上·陕西渭南·期末）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 4．（2024高二上·浙江杭州·期中）平行六面体中，，，则的长为（ ） A．10 B． C． D． 5．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 6．（2024高二上·河南新乡·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 7．（2024高二上·浙江绍兴·期末）已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 9．（2024高二上·浙江·期末）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 10．（2024高三下·江西·阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最小值为（     ） A．2 B．3 C．1 D．0 11．（2024高二上·河南·阶段练习）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 12．（2024高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二下·福建宁德·期中）已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 二、多选题 14．（2024高二上·重庆开州·阶段练习）已知为正方体，则下列说法正确的有（    ） A．； B．； C．与的夹角为； D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条 15．（2024高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（    ） A． B． C．与共线 D．与正方体体积数值相等 三、填空题 17．（2024高二下·福建宁德·期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为 . 18．（2024高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 19．（2024高二上·广西·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，为棱的中点，则 ． 20．（2024高二上·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则 . 21．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为 时，能使平面 22．（2024·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 23．（2024高二下·上海杨浦·期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 24．（2024高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 . 25．（2024·福建漳州·二模）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为 ；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为 ． 四、解答题 26．（2024高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 27．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求. 28．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：    (1)求的模长； (2)求，的夹角. 29．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 30．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 31．（2024高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 32．（2024高二上·北京顺义·期中）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且. (1)用，，表示； (2)若，求； (3)若，求证：平面. 33．（2024高二上·福建三明·开学考试）如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 34．（天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示． （2）求的长． （3）求与所成角的余弦值． 35．（2024高一下·全国·课后作业）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类 一、空间向量的夹角 1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 2．范围：0≤〈a，b〉≤π. 特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b. 当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向． 二、空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 性质：①a⊥b⇔a·b＝0 ②a·a＝a2＝|a|2 运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律). 注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的． 思考　对于向量 a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 答案　不能，向量没有除法． 三、向量a的投影 1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))． 2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． （一） 数量积的计算 1、空间向量夹角定义的三个关注点 (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样． (2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉． 2、空间向量数量积运算的两种方法 (1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算． (2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算． 3、求空间向量数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． 4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是|b|cos〈a，b〉. 题型1：空间向量数量积概念辨析 1-1．（2024高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】 根据正三角内角为求解. 【详解】 由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 1-2．（2024高三下·广东广州·阶段练习）已知向量，，满足，，，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有（    ）组. A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据已知条件进行分类讨论，列举出A,B,D三个选项的可能情况即可. 【详解】若向量，，均为非零向量，则向量，，共线或两两互相垂直，此时三组向量中两两共线的有0组或3组，故A和D错误； 若其中一个为零向量，则另外两个向量一定不共线，则，零向量和另外两个向量组成两组共线向量，故B错误. 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 故选：C 1-3．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）给出下列命题，其中正确的是（    ） A．若，则是钝角 B．若，则与一定共线 C．若，则AB与CD为同一线段 D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面 【答案】B 【分析】A，由判断即可；BC，利用共线向量的定义判断即可；D，举例判断即可. 【详解】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误； B.当时，，所以与一定共线，故B正确； C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误； D.如图所示： 设， 显然满足与，与，与都是共面向量，但､､不共面，故D错误； 故选：B. 1-4.．（2024高二下·四川凉山·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可求解A. 【详解】对于A，若，则且，不能得到，故A错误， 对于B，，B正确， 对于C，若，且，则，则，无法得出，所以C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误， 故选：B 题型2：空间向量数量积的计算 2-1．（2024高二上·浙江杭州·阶段练习）已知空间向量满足，且与的夹角为，则 ． 【答案】1 【分析】利用空间数量积的定义，直接求解即可. 【详解】由空间向量数量积的定义，. 故答案为：1 2-2．（2024高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 2-3．（2024高二上·福建福州·期末）如图所示，平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 则 , 故选：B 题型3：空间向量数量积的最值问题 3-1．（2024高一下·浙江嘉兴·期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为 ． 【答案】/-0.125 【分析】根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 3-2．（2024高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 3-3．（2024高二上·北京昌平·期末）已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则 , 当与重合时，取最小值0.此时有最小值， 故选：A 题型4：利用空间向量数量积求投影向量 4-1．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）如图，已知 平面 ， ， ，则向量 在 上的投影向量等于 . 【答案】 【分析】先求出，再根据投影向量的公式计算即可. 【详解】平面， 则， 向量在上的投影向量为 故答案为：. 4-2．（2024高二上·山东泰安·期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是 ． 【答案】 【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案. 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 4-3．（2024高二下·安徽合肥·开学考试）已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． （二） 利用数量积求角和模 1、求向量的夹角 (1)由两个向量的数量积的定义得cos〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求出〈a，b〉的大小． (2)利用向量的数量积求出两个向量的夹角，则这个夹角是两异面直线所成的角或其补角(注意异面直线所成的角的范围)． 2、求向量的模 （1）求线段长度(距离)：①取此线段对应的向量； ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量；③利用|a|＝，计算出|a|，即得所求长度(距离)． （2）线段长度的计算通常有两种方法：一是构造三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量(一般向几何体的棱上转化)． （3）应牢记并能熟练地应用公式 |a＋b＋c|＝＝. 题型5：利用空间向量数量积求角 5-1．（2024高二上·湖北黄冈·阶段练习）如图，平行六面体中，，，与AB、AD的夹角都为求： （1）的长；   （2）与AC所成的角的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设，，，求得，，，根据，即可求得对角线的长；； （2）由，，分别计算模长，利用即可得解. 【详解】（1）设，，， 所以，， 因为 所以平行四边形中 所以对角线的长为：. （2）由，可得， 所以 由， 可得 . 所以， . 【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，求模长和夹角，属于基础题. 5-2．（2024高二·全国·课后作业）空间四边形中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】解：， 所以 所以， 故选：D． 5-3．（2024高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为60°.求与所成角的余弦值. 【答案】 【分析】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出，.进而根据数量积的运算律求出向量的模以及数量积，即可根据数量积的定义公式得出以及夹角的余弦值. 【详解】设，，， 由已知可得. 因为， ， 所以，， ， ， 所以，， 所以，， 故与所成角的余弦值为. 题型6：利用空间向量数量积求模. 6-1．（2024高一下·浙江温州·期中）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果. 【详解】由题意可得， . 故选：C 6-2．（2024高二下·四川成都·期中）已知正四面体的棱长为，若、分别是、的中点，则线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】 以、、作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】 ， 又、、两两的夹角均为，且， ， . 故选：B． 6-3．（2024高二上·山东青岛·期中）四棱柱的底面ABCD是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量运算法则得到，再利用模长公式进行求解. 【详解】因为，， 所以，，， 因为， 所以 ， 所以，即线段的长度是. 故选：D. （三） 利用数量积证明垂直问题 1、利用数量积证明垂直问题: (1)将所证明垂直的线段设为向量， (2)用已知向量表示未知向量， (3)利用数量积运算完成判定. 2、用向量法证明几何中垂直关系问题的思路 (1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可； (2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可． 题型7：利用数量积证明垂直问题 7-1．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 7-2．（2024高二上·河南周口·阶段练习）如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 【答案】(1)60° (2)证明见解析 【分析】（1）选好基底后，根据空间向量数量积即可求解； （2）利用向量垂直，数量积为0即可得解. 【详解】（1），，． 由于正方体的棱长为a， ，且，，． ，， ． 又，， ． 又， ， 与的夹角为60°． （2）证明：由（1）知，， ， ， ． 7-3．（2024高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 题型8：利用空间向量垂直求参数 8-1．（2024高二上·湖南·阶段练习）在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，得到，进而求得，，结合，即可求得的值. 【详解】由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，得， 所以，， 由，可得，即，解得或， 所以实数的值为. 故答案为：. 8-2．（2024高二上·天津武清·期中）已知空间向量且 与相互垂直，则实数λ的值为 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积公式表示向量垂直关系计算即可得出λ. 【详解】因为与相互垂直， 所以, 所以. 故答案为: 8-3．（2024高二上·广东湛江·阶段练习）已知点，，，设，，． (1)若实数使与垂直，求值． (2)求在上的投影向量． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【详解】（1）依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 一、单选题 1．（2024高二上·山东济宁·阶段练习）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】转化为空间向量的数量积计算可求出结果. 【详解】 . 故选：B 2．（2024高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解. 【详解】令， 则， ， . 故选：B 3．（2024高二上·陕西渭南·期末）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正四面体中，由中点性质可得，则可代换为，由向量的数量积公式即可求解. 【详解】 如图，因为D为棱的中点，所以， ， 由正四面体得性质，与的夹角为60°，同理与的夹角为60°，，， 故， 故选：D. 4．（2024高二上·浙江杭州·期中）平行六面体中，，，则的长为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图，    由题知，, ，， . ， ， 即的长为. 故选：B 5．（2024高二上·河南郑州·阶段练习）在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ） A．－6 B．6 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】由和的数量积为0，解出k的值. 【详解】由题意可得，，， 所以，即2k－12＝0，得k＝6. 故选：B. 6．（2024高二上·河南新乡·期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】连接，将待求表达式转化进行运算简化. 【详解】 连接，由棱柱性质，侧棱平面，平面，则， 故，又， . 故选：C 7．（2024高二上·浙江绍兴·期末）已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示出，利用数量积的定义可求答案. 【详解】因为M是棱CD的中点，所以 所以. 故选：D. 8．（2024高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，三棱锥各棱的棱长是1，点是棱的中点，点在棱上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】首先在中利用余弦定理求出，然后由空间向量的运算法则可得，变形可得，由二次函数的知识可得答案. 【详解】根据题意，在中， ， 所以 所以== 则时，取得最小值， 则的最小值为. 故选：B 9．（2024高二上·浙江·期末）如图已知矩形，沿对角线将折起，当二面角的余弦值为时，则B与D之间距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可． 【详解】解：过和分别作，， 在矩形，， ， ， 则，即， 平面与平面所成角的余弦值为， ,， ， ，， 则， 即与之间距离为， 故选：C． 10．（2024高三下·江西·阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最小值为（     ） A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】平面向量的线性运算结合平面向量数量积的运算可得，，由的范围求解即可. 【详解】由题意可得正方体外接球的直径 ，设点O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，且， ， 由 ， 的最小值为. 故选︰A． 11．（2024高二上·河南·阶段练习）已知是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图，是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线， 由正方体的特征可得其外接球半径为 , 设外接球球心为O，则 , 由于点M在正方体的棱上运动,故的最小值为球心O和棱的中点连线的长， 即为正方体面对角线的一半，为， 所以 的最小值为， 故选：C 12．（2024高二上·上海崇明·期末）已知正四棱柱中，底面边长，，是长方体表面上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，将所求数量积转化为，根据的取值范围可求得结果. 【详解】取中点， 则， 当为侧面中点时，；的最大值为体对角线的一半， 又，， 即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的向量数量积问题的求解，解题关键是通过转化法将问题转化为向量模长最值的求解问题，进而通过确定向量模长的最值来确定数量积的取值范围. 13．（2024高二下·福建宁德·期中）已知单位向量，，中，，，则（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】 根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，且，，为单位向量， 则 . 故选：D 二、多选题 14．（2024高二上·重庆开州·阶段练习）已知为正方体，则下列说法正确的有（    ） A．； B．； C．与的夹角为； D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条 【答案】ABD 【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项判断. 【详解】如图所示： A. 由向量的加法运算得，因为 ，所以，故正确； B. 正方体的性质易知，所以，故正确； C. 因为是等边三角形，且 ，所以，则与的夹角为，故错误； D. 由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确； 故选：ABD 15．（2024高二上·河北邢台·期末）如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以故A错误； 因为，，， 所以， 所以，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，， 所以 因为， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 16．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指､食指､中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量，的夹角）.在正方体中，有以下四个结论，正确的有（    ） A． B． C．与共线 D．与正方体体积数值相等 【答案】ACD 【分析】运用新定义及空间向量基本概念分别判断即可． 【详解】设正方体棱长为1， 对于，，， 所以，所以对； 对于，由，和构成右手系知，与方向相反， 即，所以错； 对于，，平面， 平面，， 再由右手系知，与共线，所以对； 对于， ， 正方体体积为1，所以对． 故选：． 三、填空题 17．（2024高二下·福建宁德·期中）已知在标准正交基下，向量，，，则向量在上的投影为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算用基底表示，再求出在上的投影作答. 【详解】因为向量，，， 因此， ， 所以向量在上的投影为. 故答案为： 18．（2024高二上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【分析】直接根据向量的夹角公式求解. 【详解】根据向量的夹角公式，，由于向量夹角的范围是，故 故答案为： 19．（2024高二上·广西·阶段练习）如图所示，在平行六面体中，，，，为棱的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】结合向量的加法法则和减法法则，以及向量的数量积的运算法则，即可求解. 【详解】 向量的拆分，， 又，，由此可得， ∴． 故答案为： 20．（2024高二上·湖南衡阳·期末）如图，在直三棱柱中，，、分别为棱、的中点，则 . 【答案】 【分析】分析可知，，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】因为平面，平面，则，同理可知， 所以， . 故答案为：. 21．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）平行六面体的底面是菱形，且.当的值为 时，能使平面 【答案】1 【分析】设，，则，由平面，可得，所以，即，根据向量的数量积得，求解即可. 【详解】解：如图所示： 设，，则， 因为平面， 平面，所以， ，， 由，得， 即， 又因为， 则有，即， 解得或(舍去)， 因此当时，能使平面. 故答案为：1 22．（2024·四川成都·三模）如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知，，圆柱的高为5．若点D在圆柱表面上运动，且满足，则点D的轨迹所围成图形的面积为 ． 【答案】10 【分析】作出过且与垂直的圆柱的截面，它是一个矩形，而由得，所以平面，从而可得点轨迹，求出所围图形面积． 【详解】作母线，，连接， 因为，所以共面，是圆柱的一个截面， 平面，平面，所以， 又由已知得，而，平面， 所以平面， 由得，所以平面， 矩形即为点轨迹， ，则，又， 所以矩形的面积为． 故答案为：10. 23．（2024高二下·上海杨浦·期中）在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 【答案】 【分析】确定点在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，计算得到答案. 【详解】，故，，， 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 同理得到： 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面. 个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个. 故答案为： 24．（2024高三上·江西萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用等体积法求出内切球的半径，以及正四面体中内切球球心到顶点的距离，从而可得，再根据即可求解. 【详解】 如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为， 内切球半径为，取中点为， 则,,所以， 因为， 所以，所以， 因为点P为正四面体表面上的一个动点， 所以，即， 因为, 因为为球O的一条直径，所以, 所以， 因为，所以， 所以， 故答案为: . 25．（2024·福建漳州·二模）已知长方体的底面是边长为的正方形，若，则该长方体的外接球的表面积为 ；记分别是方向上的单位向量，且，，则（m，n为常数）的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据长方体外接球直径为长方体体对角线即可求出球半径，得出球的面积，由所给条件可取与的方向相同或与的方向相同，问题可转化为求平面上一点与的距离的最小值，即求到平面的距离得解. 【详解】在中，，所以，， 所以该长方体的外接球的半径为，所以该长方体的外接球的表面积为由及可得， 所以与的方向相同或与的方向相同， 不妨取与的方向相同， 由平面向量基本定理可得必与共面， 在平面上取一点，故可设， 则，所以其最小值为点到平面的最小值，即最小值为. 故答案为：； 四、解答题 26．（2024高二下·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】要证，只要证，即证，结合空间向量分析运算． 【详解】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 27．（2024高二下·江苏·课后作业）如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB， AB＝BC＝a， PA＝b.试确定在直线AB上的投影向量，并求. 【答案】， 【分析】由图形特征，用，，为基底表示，计算数量积和投影向量. 【详解】因为． 又， 所以在上的投影向量为：. 28．（2024高三·全国·专题练习）如图，正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设，，，试采用向量法解决下列问题：    (1)求的模长； (2)求，的夹角. 【答案】(1)； (2)90°. 【分析】（1）根据空间向量线性的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可； （2）根据空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）因为E，F，G是中点，所以， 因此， 因为正四面体所有棱长为1， 所以， 所以； （2）由（1）可知：， 同理，， 所以，的夹角为90°. 29．（2024高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)确定在平面上的投影向量，并求； (2)确定在上的投影向量，并求． 【答案】(1)在平面上的投影向量为，； (2)在上的投影向量为，. 【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解； （2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值. 【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为， 因为平面，面，可得，所以， 因为，所以， 所以 . （2）由（1）知：，， 所以在上的投影向量为： ， 由数量积的几何意义可得：. 30．（2024高二上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由点为的中点，可得，而，代入前面的式子化简可得结果； （2）由（1）可知，由于，再利用数量积的运算律结合已知条件可求得结果. 【详解】（1）因为点为的中点，所以， 因为，所以， 所以， 所以； （2）由（1）得， 因为，， 所以 . 31．（2024高二上·北京通州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点. (1)求； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)4； (2)； (3). 【分析】（1）利用数量积的公式求数量积即可； （2）利用余弦定理求出，即可得到； （3）通过线性运算得到，然后利用数量积求模长即可. 【详解】（1）. （2）因为为平行六面体，所以四边形为平行四边形，∥，， 在三角形中，，，，所以，所以， 又∥，所以. （3）由题意知，，则 ， 所以. 32．（2024高二上·北京顺义·期中）如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且. (1)用，，表示； (2)若，求； (3)若，求证：平面. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）不妨取，根据及空间向量数量积的运算律得到方程，解得即可； （3）过点作，交于点，连接，即可得到、，即可得到平面平面，从而得证； 【详解】（1）解： 即 （2）解：因为，不妨取， ． ． （3）解：过点作，交于点，连接，则， 平面，平面，所以平面， 因为，令，则，，，所以，所以，所以，又，，所以，所以，平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面； 33．（2024高二上·福建三明·开学考试）如图，正四面体的高的中点为，的中点为.    (1)求证：，，两两垂直； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先以为基底表示向量，再表示向量，再利用数量积公式证明垂直关系； （2）首先利用基底表示向量，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）设，，，正四面体的棱长为1， 因为 ， ， ， ， 所以 ，所以，即. 同理，，，所以，，两两垂直. （2）， 所以， 又， ， 所以， 又，所以. 34．（天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题）如图，在平行六面体中，，，，，为与的交点．若，，． （1）用，，表示． （2）求的长． （3）求与所成角的余弦值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，即可得答案. （2）见模平方，结合数量积公式，整理计算，即可得答案. （3）根据求夹角公式，代入计算，即可得答案. 【详解】（1）由题意得 （2）因为，所以， ， 所以 （3），所以， 所以 ， 所以与所成角的余弦值为 35．（2024高一下·全国·课后作业）如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，，得平面，又，即可证得结论； （2）利用空间向量得，即，又，所以平面，进而证得结论. 【详解】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以. 又平面，平面ABCD，所以，. 又因为，，平面，所以，平面. 中，E，F分别为AB，BC中点， 所以，，所以，平面. （2）正方体中，四边形是正方形， 又F、M分别为、中点， 所以，，， 所以， ， 即.① 正方体中，平面，平面，所以.② 由①②及，且，平面，所以，平面， 又平面，所以，平面平面. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$