任意角三角函数的概念——高一上学期必修第一册同步导学案

 任意角三角函数的概念

【考纲解读】

1、理解任意角正弦，余弦，正切，弧度和弧度制的定义，了解弧度和角度之间换算的基本方法；

2、掌握任意角正弦，余弦和正切的求法，能够运用任意角正弦，余弦和正切求解相关的数学问题。

【知识精讲】

一、任意角的概念：

1、任意角的定义：

（1）狭义定义：具有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；

（2）广义定义：平面内一条射线绕其端点由一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，叫做角。

2角的分类：

（1）按照旋转的方向不同角可以分为：①正角；② 零度角；③负角；

①正角：射线绕其端点按逆时针方向旋转所形成的角，称为正角；

②零度角：射线绕其端点没有作旋转时所形成的角，称为零度角；

③负角：射线绕其端点按顺时针方向旋转所形成的角，称为负角。

（2）把角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的正半轴重合，按照角的终边所在的位置不同角可以分为：①象限角；② 轴线角；

①象限角：角的终边落在直角坐标系中某个象限内的角，称为象限角；

②轴线角（也称象限界角）：角的终边落在直角坐标系中某一坐标轴上的角，称为轴线角（或象限界角）。

3、終边相同角的集合：

具有同一终边的角有无数个，这些角用集合可以表示为{x|x=+k.，kZ}（初始角是用角度制表示的角）或{x|x=+2k，kZ}（初始角是用弧度制表示的角）；（注意：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同）。

二、弧度制：

1、弧度制的定义：                                                   A

（1）1弧度的意义：弧长等于圆的半径所对的圆心角，

称为1弧度，如图所示；                                               R

（2）弧度制的定义：用弧度度量角的制度，叫做弧度制。

理解弧度定义时应该注意的问题：                                     B

(1)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零度角的弧度数是零；

（2）角的弧度数的绝对值为一个非负数，即||=（其中l是以角作为圆心角时所对的弧长，r是该圆的半径）。

2、角度与弧度的换算：                                            

（1）角度换弧度：

①换算公式：=弧度；   

②换算的基本方法：直接用换算公式进行。

 （2）弧度换角度：

①换算公式：1弧度=≈。

②换算的基本方法：直接用换算公式进行。

3、弧长与扇形面积公式：

设圆的半径为R，弧长所对的圆心角为（是用弧度表示的角）。

（1）          弧长L=||R；

（2）          扇形面积S=LR=||

4、常用角的弧度与角度的对照表：

                                                                            

   角度                                   ---------

   弧度                                       2    ----------

 

三、任意角的三角函数的概念：   y       p(x,y)      p(x,y)   y

1任意角三角函数的定义：

如图，设p(x,y)是任意角终边上的任意一点，

它与原点的距离r=|op|=。         0            x              0       x

(1)任意角正弦的定义：比值，叫做角的     y                   y

正弦，记作sin，即：sin=；            0          x         0           x

（2）任意角余弦的定义：          p(x,y)                                     p(x,y)

比值，叫做角的余弦，记作cos，即：cos=；

(3) 任意角正切的定义：比值，叫做角的正切，记作tan，即：tan= 。

理解任意角三角函数定义时应该注意的问题：

(1)当=k（kZ）时，角的终边在x轴上，这时终边上任意一点的纵坐标都等于零，此时正弦和正切的值都等于零；

(2)当=k+（kZ）时，角的终边在y轴上，这时终边上任意一点的横坐标都等于零，此时余弦的值等于零，正切的值不存在。

2、任意角的正弦，余弦，正切在各个象限的符号：

如图，当角的终边落在第一，第二象限时，终边上点的纵坐标y>0恒成立，当角的终边落在第三，第四象限时，终边上点的纵坐标y<0恒成立，从而得到sin的值在第一，第

二象内为正数，在第三，第四象限内为负数；当角的终边落在第一，第四象限时，终边上点的横坐标x>0恒成立，当角的终边落在第二，第三象限时，终边上点的横坐标x<0恒成立，从而得到cos的值在第一，第四象内为正数，在第二，第三象限内为负数；当角的终边落在第一，第三象限时，终边上点的横坐标x和纵坐标y同号，当角的终边落在第二，第四象限时，终边上点的横坐标x和纵坐标y异号，从而得到tan的值在第一，第三象内为正数，在第二，第四象限内为负数；

 

     y                         y                          y

+          +                -         +                -         +

 

-    0      -  x             -  0      +  x             +  0     -    x

 

      sin                     cos                        tan   T

3、三角函数线：                                           y

如图设角的终边与单位圆相交于点P，过                         P

P作PMx轴，垂足为M，过A（1，0）作                        

单位圆的切线与的终边（或终边的反向）延

长线相交于点T。由|OP|=r=1，sin==                         A   x

=|PM|； cos== =|OM|；tan= = =|AT|。于是得到：①有向线段、PM|称为正弦线；②有向线段|OM|称为余弦线；③有向线段|AT|称为正切线。

【探导考点】

 考点1任意角的定义及表示：热点①已知任意角的表示式，确定角终边所在的位置；热点②已知角终边所在的位置，写出角的表示式；

 考点2弧度制：热点①弧长公式及运用；热点②扇形面积公式及运用；热点③ 角度与弧度之间互换的基本方法；

考点3任意角三角函数的概念：热点①任意角三角函数的定义及运用；热点②三角函数线的定义及运用；热点③ 数形结合思想在三角函数中的应用。

【典例解析】

【典例1】解答下列问题：

1、手表的时针走了2小时，时针转过的度数为（ ）

A            B       -         C                   D        -

2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，下列四个命题：①A=B=C；②AC；③CA；④AC=B。其中正确命题的个数为（ ）

A       0      B        2         C          3         D        1

3、在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是；②钝角一定大于锐角；③