第6章 4.1 样本的数字特征-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§4　用样本估计总体的数字特征 §4.1　样本的数字特征 学业标准 素养目标 1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义．(重点) 2．结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(极差、方差、标准差)，理解离散程度参数的统计含义．(重点) 3．结合实例，能用样本的数字特征估计总体的数字特征．(难点) 1．通过集中趋势参数和离散程度参数的计算，培养数学运算等核心素养． 2．通过应用样本的数字特征估计总体的数字特征，提升数据分析、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　众数、中位数、平均数 　平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？ [提示]　平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大． 　在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ [提示]　为了避免平均值受数据中个别极端值的影响，增大它在估计总体时的可靠性． ◎结论形成 众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数__最多__的数据． (2)中位数：把一组数据按__从小到大__的顺序排列，处在__中间__位置的数据(或中间两个数的__平均数__)称为这组数据的中位数． (3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)称为这n个数的平均数． 导学2　极差、方差、标准差 　当样本数据的标准差为0时，该组数据有何特点？ [提示]　当样本数据的标准差为0时，该组数据都相等． 　标准差、方差的意义是什么？ [提示]　标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小． ◎结论形成 1．极差 一组数据中__最大值与最小值__的差． 2．方差 (1)公式： s2＝____． (2)意义：方差刻画的是数据的__离散程度__． 3．标准差 s＝____＝ ____． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)标准差、方差的取值范围为(0，＋∞).(　　) (2)标准差、方差的作用是用来描述一组数据围绕平均数波动的大小的．(　　) (3)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.(　　) (4)方差的公式可以写为s2＝(x＋x＋…＋x)－2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　) A．平均数　　　　　　 B．中位数 C．方差 D．众数 解析　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度． 答案　C 3．一组样本数据按从小到大的顺序排列为13，14，19，x，23，27，28，31，其中位数为22，则x等于(　　) A.21 B．22 C．20 D．23 解析　根据题意知，中位数22＝，则x＝21. 答案　A 4．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为____________． 解析　＝6. 答案　6 题型一　众数、中位数、平均数的简单运用一题多变 　在一次乒乓球单打比赛中，甲选手在1比3落后的情况下连扳三局，4比3击败乙选手成功卫冕，这七局的比分是：4∶11，8∶11，11∶5，4∶11，11∶9，11∶8，11∶6.试分别计算这两位运动员成绩的平均数、众数和中位数． [解析]　甲选手各局的得分分别是：4，8，11，4，11，11，11； 按照从小到大的顺序排列是：4，4，8，11，11，11，11； 乙选手各局的得分分别是：11，11，5，11，9，8，6； 按照从小到大的顺序排列是： 5，6，8，9，11，11，11. (1)平均数 甲＝(4＋8＋11＋4＋11＋11＋11)＝， 乙＝(11＋11＋5＋11＋9＋8＋6)＝； (2)两者的众数都是11； (3)甲的中位数是11，乙的中位数是9. [母题变式] 1．把本例中甲选手的每局的得分都加上2，与之前相比，下列数字特征没有变化的是(　　) A．众数　　　　　　　 B．平均数 C．中位数 D．标准差 解析　当每个样本数据都加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变． 答案　D 2．把本例中乙的样本数据换为：12，20，16，18，20，28，23，16，15，18，20，24，18，21，18，19，18，31，18，13.则这组数据的平均数为____________，中位数为____________，众数为____________． 解析　平均数＝＝19.3，中位数为18，众数为18. 答案　19.3　18　18 ◆规律方法