第5章 教考衔接6 一元二次方程根的分布-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

二次方程根的分布与二次函数紧密相联．这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用．下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次方程根的分布的充要条件及其运用． 题型一　一元二次方程根的基本分布——零分布 　(1)已知一元二次方程mx2－2x＋m＋3＝0有两个正实根，则实数m的取值范围是____________． (2)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一负根”的充要条件是______． [解析]　(1)设两个正实数根分别为x1，x2，⇒0<m≤ . (2)若一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有一个正根和一负根，设两根为x1和x2， 所以解得a<0， [答案]　(1)　(2)a<0 ◆规律方法 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧，这种分布一般利用判别式和根与系数的关系即可解决． [触类旁通] 1．(1)已知关于x的方程x2＋mx＋1＝0的两个不相等的实根均在区间(0，＋∞)内，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2)若关于x的方程x2－ax＋1＝0(a∈R)有两个正根x1，x2，则a的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　(1)因关于x的方程x2＋mx＋1＝0的两个不相等的实根均在区间(0，＋∞)内， 则有解得m<－2， 所以m的取值范围为(－∞，－2). (2)根据题意得： 解不等式组得a≥2. 故a的最小值为2. 答案　(1)C　(2)B 题型二　一元二次方程根的非零分布——k分布 　(1)关于x的方程x2＋(a－2)x＋5－a＝0在(2，4)上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是(　　) A．(－6，－2) B．(－6，－4) C． D． (2)已知一元二次方程x2＋mx＋3＝0有两个实数根x1，x2，且0<x1<2<x2<4，则m的值为(　　) A．－4 B．－5 C．－6 D．－7 [解析]　(1)令f(x)＝x2＋(a－2)x＋5－a，要满足在(2，4)上有两个不相等的实根，则 解得a∈. (2)因为一元二次方程x2＋mx＋3＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2， 且0<x1<2<x2<4，令f(x)＝x2＋mx＋3， 则由题意可得，即解得－<m<－，又m∈Z，可得m＝－4. [答案]　(1)D　(2)A ◆规律方法 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实根分别为x1，x2，且x1≤x2，一元二次方程根的k分布，即x1，x2相对于常数k的位置，解此类问题一般从四个方面考虑：①抛物线的开口方向； ②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．此类问题有时也可转化为根与系数的关系来解决．另外，零分布可以理解成k分布的特殊形式． [触类旁通] 2．(1)已知不等式组的解集是关于x的不等式x2－3x＋a<0的解集的子集，则实数a的取值范围为(　　) A．a≤0 B．a<0 C．a≤－1 D．a<－2 (2)一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是(　　) A． B．(－∞，5) C． D． 解析　(1)解得x∈(2，3)，因为x∈(2，3)是不等式x2－3x＋a<0的解集的子集，故f(x)＝x2－3x＋a要满足解得a≤0，故选A. (2)设f(x)＝x2－5x＋1－m，关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则 解得－≤m<－5. 答案　(1)A　(2)C 题型三　一元二次方程根的分布的应用 　已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1，点A(0，3)，B(3，0)，试确定m的取值范围，使抛物线C恒与线段AB有两个交点． [解析]　设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， ∵A(0，3)，B(3，0)，∴解得 ∴线段AB的方程为y＝－x＋3(0≤x≤3)， ∵二次函数图象和线段AB有两个不同的交点， ∴方程组有两个不同的实数根．消元得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)， 设f(x)＝x2－(m＋1)x＋4， 则解得3<m≤. 所以m的取值范围为. ◆规律方法 一元二次方程根的分布的应用问题，大多是一元二次方程根的分布与其他知识结合问题，或能转化为一元二次方程根的分布问题，需注意恰当的转化时机． [触类旁通] 3．已知A＝{x∈R|x2＋2x＋p＝0}且A∩{x∈R|x>0}＝∅，求实数p的取值范围．