第5章 函数应用 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

一、函数零点及其应用题点多探　多维探究 由于函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以，函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图象，从中体会数形结合的作用． 角度1　函数零点个数的判断 　函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0，1)内的零点个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 [解析]　由题意知f(x)单调递增，且f(0)＝－2＜0，f(1)＝3＋1－2＝2＞0，即f(0)·f(1)＜0且函数f(x)在(0，1)内连续不断，所以f(x)在区间(0，1)内有一个零点． [答案]　B 角度2　函数零点所在区间的判定 　函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(　　) A． B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3) [解析]　因为y＝ln x与y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝ln 2－＝ln ＜0，f(e)＝－＋e－2＞0，所以f(2)·f(e)＜0，故函数f(x)的零点所在的区间是(2，e). [答案]　C 角度3　已知方程根或函数零点求参数范围 　已知函数f(x)＝ 其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，求m的取值范围． [解析]　作出f(x)的图象如下图所示．当x＞m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2， ∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2＜m，即m2－3m＞0.又m＞0，解得m＞3. ∴m∈(3，＋∞). 二、函数模型的实际应用 1．解函数应用题可归纳为四步 (1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原． 其中“建模”是关键的一步，建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型． 2．函数模型是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进行预测． 　国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，用L表示，范围是[4.0，5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V. (1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整． V 1.5 ② 0.4 ④ L ① 5.0 ③ 4.0 (2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．(所求值均精确到小数点后面一位数字，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) [解析]　(1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg ＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 3－lg 2 ＝5.0＋0.4771－0.3010≈5.2， 所以①应填5.2； 因为5.0＝5.0＋lg V， 所以V＝1，②处应填1.0； 因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2 lg 2－1 ＝5.0＋2×0.3010－1≈4.6， 所以③处应填4.6； 因为4.0＝5.0＋lg V， 所以lg V＝－1. 所以V＝0.1. 所以④处应填0.1. 对照表补充完整如下： V 1.5 1.0 0.4 0.1 L 5.2 5.0 4.6 4.0 (2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5， 则V乙＝2×10－0.5. 所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg (2×10－0.5)＝5.0＋lg 2－0.5＝5.0＋0.301 0－0.5≈4.8. 忽视精确度致误 [典例]　用二分法求方程2x＋x－8＝0在区间(2，3)内的近似解．(精确度为0.1，参考数据：22.5≈5.657，22.25≈4.757，22.375≈5.187，22.4375≈5.417，22.75≈6.727) [解析]　设f(x)＝2x＋x－8，由于f(2)＝－2＜0，f(3)＝3＞0，故可取区间[2，3]作为计算的初始区间． 用二分法逐次计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数值(或近似值) (2，3) 2.5 0.157 (2，2.5) 2.25 －0.993 (2.25，2.5) 2.375 －0.438 (2.375，2.5) 2.4375 0.1455 (2.437 5，2.5) … … 区间(2.437 5，2.5)的长度： 2．5－2.437 5＝0.0625＜0.1，所以这个区间的两个端点值都可以作为函数零点的近似值， 故函数