第5章 1.2 利用二分法求方程的近似解-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§1.2　利用二分法求方程的近似解 学业标准 素养目标 1．根据具体函数的图象，会借助计算器用二分法求相应方程的近似解．(难点) 2．理解并掌握利用二分法求方程近似解的过程和方法．(重点) 1．通过用二分法求方程的近似解的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．借助二分法求方程近似解的过程，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　二分法求方程的近似解 　有16个大小相同，颜色相同的金币，其中有15个金币是真的，有一个质量稍轻的是假的．用天平称几次一定可以找出这个稍轻的假币？ [提示]　4次． 第一次，两端各放8个金币，高的那一端一定有假币； 第二次，两端各放4个金币，高的那一端一定有假币； 第三次，两端各放2个金币，高的那一端一定有假币； 第四次，两端各放1个金币，高的那一端一定是假币． 　我们知道f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2，3)内，如何缩小零点所在区间(2，3)的范围？ [提示]　①取区间(2，3)的中点2.5.②计算f(2.5)的值，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内． 再取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512.因为f(2.5)·f(2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内．这样一来，零点所在的范围越来越小了． 　若给定精确度0.3，如何选取近似值？ [提示]　当精确度为0.3时，由于|2.75－2.5|＝0.25＜0.3，所以可以将x＝2.5作为函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点近似值，当然区间[2.5，2.75]内的任意一个值都是函数零点的近似值，常取区间的端点作为零点的近似值． ◎结论形成 1．精确度的概念 设x∧是方程f(x)＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0－x∧|<ε，就称__x0__是满足精确度__ε__的近似解． 2．二分法的概念 对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，__f(a)·f(b)＜0__，则每次取区间的__中点__，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法． 3．用二分法求方程f(x)＝0近似解的方法 在图中： “初始区间”是一个两端点函数值__异__号的区间； “M”的含义得到新区间．新区间的一个端点是原区间的__中点__，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号； “N”的含义是方程解满足要求的__精确度__； “P”的含义是选取区间内的任意一个数作为方程的近似解． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值可以用二分法．(　　) (2)用二分法求出的函数零点就是精确值．(　　) (3)用“二分法”求近似解时，精确度ε越大，零点的精确度越高．(　　) (4)二分法求近似解时，精确度ε一定小于1.(　　) 解析　(1)函数需满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点． (2)用二分法求出的函数零点可能是精确值，也可能是近似值． (3)精确度ε越大，零点的精确度越低． (4)错误． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是(　　) A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点 B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0近似值 C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点 D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 解析　使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点⇔f(x)＝0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确． 答案　A 3．用二分法求方程的近似解，精确度为ε，则终止条件为(　　) A．|x1－x2|>ε　　　　 B．|x1－x2|<ε C．x1<ε<x2 D．x2<ε<x1 解析　根据题意，用二分法求方程的近似解，若要求的精确度为ε，当|x1－x2|<ε，可以确定近似解． 答案　B 4．求方程x3－2x－5＝0在区间(2，3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是____________． 解析　令f(x)＝x3－2x－5， 由于f(2)＝8－4－5＝－1＜0， f(3)＝27－6－5＝16＞0， f(2.5)＝＞0， 故下一个有根区间是(2，2.5). 答案　(2，2.5) 题型一　二分法的概念 　下面关于二分法的叙述，正确的是(　　) A．用二分法可求所有函数零点的近似值