第4章 教考衔接5 指数（对数）型函数的综合问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

函数是高中数学的主干知识，指数(对数)函数是最基本初等函数，是高考必须考查的重点内容，而与指数(对数)型函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．

题型一　求指数(对数)型函数的单调区间

　函数的单调递增区间为(　　)

A．(－∞，2]　　　　　　 B．[1，2]

C．[2，3]    D．[2，＋∞)

[解析]　令g(x)＝，因为f(x)＝2g(x)在定义域上为增函数，所以只需求g(x)＝的单调递增区间即可，令h(x)＝－x2＋4x－3，由二次函数单调性及二次根式有意义的条件可知1≤x≤2.故的单调递增区间为[1，2].

[答案]　B

◆规律方法

1．指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定：一是底数；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．

2．求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f[φ(x)]的单调性．

[触类旁通]

1．求函数y＝log(x2－3x＋5)的单调区间．

解析　由于方程x2－3x＋5＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，

∴x2－3x＋5>0恒成立，即函数的定义域为R.

令u(x)＝x2－3x＋5，

当x∈时，u(x)单调递减，

当x∈时，u(x)单调递增．

又y＝logu为减函数，∴y＝log(x2－3x＋5)在上单调递增，在上单调递减．

综上，函数y＝log(x2－3x＋5)的单调递增区间为，单调递减区间为.

题型二　已知复合函数的单调性求参数范围

　已知函数f(x)＝loga(ax2－2x＋5)(a>0，且a≠1)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　　)

A．∪[2，＋∞)    B．∪(1，2]

C．∪[2，＋∞)    D．∪(1，2]

[解析]　当0<a<1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递减且u>0恒成立．

所以解得≤a≤.

当a>1时，由复合函数单调性知函数u＝ax2－2x＋5在上单调递增且u>0恒成立，

所以解得a≥2.

综上，a的取值范围为∪[2，＋∞).

[答案]　C

◆规律方法

1．对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等．

2．熟悉对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提．

[触类旁通]

2．已知函数f(x)＝loga(－x2＋ax－6)(a>0，且a≠1)，若f(x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围．

解析　若f(x)存在单调递增区间，

则当a>1时，函数t＝－x2＋ax－6存在单调递增区间即可，则判别式Δ＝a2－24>0，解

得a>2或a<－2(舍去)；

当0<a<1时函数t＝－x2＋ax－6存在单调递减区间即可，则判别式Δ＝a2－24>0，解得a>2(舍去)或a<－2(舍去)，此时a不存在．

综上所述，实数a的取值范围是(2，＋∞).

题型三　与函数有关的恒成立问题

　已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(1)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．

[解析]　(1)由题意，得f(0)＝＝0，

所以a＝1，所以f(x)＝，

该函数在定义域R上单调递减，证明如下：

任取x1，x2∈R，x1<x2，

所以f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1).

所以该函数在定义域R上单调递减．

(2)由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，

得f(t2－2t)<－f(2t2－k).

因为f(x)是奇函数，

所以f(t2－2t)<f(k－2t2)，

由(1)知，f(x)是减函数，

所以t2－2t>k－2t2，

即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立，

所以Δ＝4＋12k<0，得k<－.

∴实数k的取值范围是.

◆规律方法

解决指数函数图象和性质综合问题的注意点

(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技