第4章 教考衔接4 因“型”制宜话大小-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

15．如下图所示，过函数f(x)＝logcx(c＞1)的图象上的两点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M(a，0)，N(b，0)(b＞a＞1)，线段BN与函数g(x)＝logmx(m＞c＞1)的图象交于点C，且AC与x轴平行．

(1)当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；

(2)当b＝a2时，试探究－的最小值．

解析　(1)由题意得A(2，log32)，B(4，log34)，C(4，logm4)，因为AC与x轴平行，所以logm4＝log32，所以m＝9.

(2)由题意得A(a，logca)，B(b，logcb)，C(b，logmb)，因为AC与x轴平行，所以logmb＝logca，因为b＝a2，所以m＝c2，所以－＝－＝－1，所以当＝1时，－取得最小值－1.

有关指数、对数式的大小比较问题，一直是高考的热点内容．难度有中档题，也有高档题．主要考查指(对)数函数的性质与图象．重点考查数形结合能力、构造与转化能力、逻辑推理能力等．今后以指(对)数函数为载体的大小比较问题仍是高考命题的重点．

题型一　利用指(对)数函数的性质比较大小

　(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log5 2，b＝log8 3，c＝，则下列判断正确的是(　　)

A．c<b<a　　　　　 B．b<a<c

C．a<c<b    D．a<b<c

[解析]　因为a＝log5 2<log4 2＝＝c，b＝log8 3>log9 3＝＝c，所以a<c<b.故选C.

[答案]　C

◆规律方法

利用指数函数、对数函数的性质时，要注意考虑a，b，c与特殊数字“0”和“1”的大小关系，以便比较大小．

[触类旁通]

1．设a＝log3 2，b＝log5 3，c＝，则(　　)

A．a<c<b    B．a<b<c

C．b<c<a    D．c<a<b

解析　因为a＝log3 23<log3 9＝＝c，

b＝log5 33>log5 25＝＝c，

所以a<c<b.

答案　A

题型二　利用指(对)数函数的图象比较大小

　已知实数a，b，c满足ln a＝eb＝，则下列不等式中不可能成立的是(　　)

A．a>b>c    B．a>c>b

C．c>a>b    D．c>b>a

[解析]　令ln a＝eb＝＝x(x>0)，可得a＝ex，b＝ln x，c＝，在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝在(0，＋∞)上的图象，如图所示，画一条直线x＝x0(x0>0)，设直线x＝x0(x0>0)与函数y＝ex，y＝ln x的图象分别相交于A，B两点，由图可知，点A恒在点B的上方，即点A的纵坐标恒大于点B的纵坐标，所以a>b恒成立，

故选项D不可能成立．故选D.

[答案]　D

◆规律方法

画出函数的图象，充分利用图象的直观性解决大小比较问题．本题画出函数y＝ex，y＝ln x，y＝的图象是关键．

[触类旁通]

2．设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln (x2＋1)，＝lg x3，则(　　)

A．x1<x2<x3    B．x1<x3<x2

C．x2<x3<x1    D．x2<x1<x3

解析 画出函数y＝，y＝ln x，y＝ln (x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．由图象直观性，知x2<x1<x3.故选D.

答案　D

题型三　设元法、特例法比较大小

　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　)

A．3y<2x<5z    B．2x<3y<5z

C．3y<5z<2x    D．5z<2x<3y

[解析]　解法一　取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log2 5，y＝log3 5，所以2x＝log2 25<log2