第4章 对数运算与对数函数 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

一、对数的运算

1．对数的运算性质和换底公式

已知a＞0，b＞0，a≠1，M＞0，N＞0，m≠0.

(1)logaM＋logaN＝loga(MN).

(2)logaM－logaN＝loga.

(3) ＝logab.

2．对数运算时注意的问题

(1)在进行对数的运算时，一定要注意真数大于0，即保证所用到的各条运算性质都有意义．

(2)对数的三条运算性质，对数恒等式以及换底公式的综合运用是进行对数化简、运算的关键．

3．化简底数相同的对数式的两种基本方法

(1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．

(2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差).

　(1)log3.19.61＋lg ＋ln (e2·)＋log3(log327)；

(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2)2＋lg ＋lg 0.06.

[解析]　(1)原式＝log3.13.12＋lg 10－3＋ln (e2×e)＋log3(log333)

＝2＋(－3)＋ln e＋log33

＝2－3＋＋1＝.

(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋(lg 2)2＋lg 0.01

＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2

＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2

＝3－2＝1.

二、对数函数、指数函数的图象问题

1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题．

2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a>0，a≠1，x>0)的图象恒过定点(1，0).

3．识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值．

　(1)已知a>1，b<－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　)

A．第一象限　　　　　　 B．第二象限

C．第三象限    D．第四象限

(2)对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是____________．

(3)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是__________________(填序号).

[解析]　(1)∵a>1，∴函数y＝loga(x－b)(b<－1)的图象就是把函数

y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如右图．由图可知函数y＝loga(x－b)图象不经过第四象限，所以选D.

(2)当x＝－1时，y＝a0－2＝－1，

所以该定点的坐标是(－1，－1).

(3)因为lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当a>1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0<a<1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确．

[答案]　(1)D　(2)(－1，－1)　(3)②

三、对数函数、指数函数性质的应用题点多探　多维探究

角度1　比较大小问题

指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种：

(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；

(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等；

(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决．

　比较下列各组数的大小．

(1)1.70.2、log2.10.9与0.82.1；

(2)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m＞1).

[解析]　(1)因为函数y＝log2.1x在(0，＋∞)上是增函数且0.9＜1，所以log2.10.9＜log2.11＝0.因为函数y＝1.7x在R上是增函数且0.2＞0，所以1.70.2＞1.70＝1.

因为函数y＝0.8x在R上是减函数且2.1＞0，

所以0＜0.82.1＜0.80＝1.

综上，log2.10.9＜0.82.1＜1.70.2.

(2)①当1＜m＜10时，0＜lg m＜1，

由1.9＜2.1得，(lg m)1.9＞(lg m)2.1；

②当m＝10时，lg m＝1，故(lg m)1.9＝(lg m)2.1；

③当m＞10时，lg m＞1，由1.9＜2.1得，

(lg m)1.9＜(lg m)2.1.

角度2　对数函数性质的综合应用

指数函数与对数函数性质的对比

 　　(1)相同点

指数函数与对数函数的图象和性质都与底数a的取值有关．当a变化时函数的图象与性质也随之改变．

(2)不同点

①指数函数的图象恒过定点(0，1)，而对数函数的图象恒过定点(1，0)；