第4章 4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

 

[教材梳理]

导学　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

指数函数、幂函数、对数函数是高中课程中的三大基本函数，下面以函数y＝2x，y＝x2，y＝log2 x为例探究一下它们增长的差异．

　如图是同一直角坐标系中三个函数的图象，当log2 x＜2x＜x2时，x的范围是什么？

[提示]　2＜x＜4.

　当log2 x＜x2＜2x时，x的取值范围是什么？

[提示]　0＜x＜2或x＞4.

　从三种函数图象的比较，当自变量x越来越大时，它们的增长速度怎样？

[提示]　y＝2x的函数值增长远远大于y＝x2的函数值增长，而y＝x2的函数值增长又远远大于y＝log2x的函数值增长．

◎结论形成

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

 [基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数logx的衰减速度越来越慢．(　　)

(2)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．(　　)

(3)若a>1，n>0，对于任意x0∈R，一定有>x.(　　)

(4)方程2x＝x2有2个解．(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×

2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用(　　)

A．一次函数　　　　　　 B．二次函数

C．指数型函数    D．对数型函数

解析　对数型函数初期增长迅速，后来增长越来越慢，故选D.

答案　D

3．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)

A．y1＞y2＞y3    B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y3＞y2    D．y2＞y3＞y1

解析　在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2，4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2＞y1＞y3.

答案　B

4．三个数0.32，log20.3，20.3的大小关系为____________．

解析　∵0＜0.32＜12＝1，log20.3＜log21＝0，20.3＞20＝1，

∴log20.3＜0.32＜20.3.

答案　log20.3＜0.32＜20.3

题型一　几类函数模型的增长差异

　(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　)

A．y＝2 018x　　　　　　 B．y＝x2 018

C．y＝log2 018x    D．y＝2 018x

(2)四个函数y1，y2，y3，y4随自变量x变化的数据如下表：

 

则关于x呈指数型函数变化的函数是____________．

[解析]　(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．

(2)以爆炸式增长的函数呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个函数y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中函数y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知函数y2关于x呈指数型函数变化．

[答案]　(1)A　(2)y2

◆规律方法

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．

(2)指数函数模型：指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

(3)对数函数模型：对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．

(4)幂函数模型：幂函数y＝xn(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．

[触类旁通]

1．有一组数据如下表：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　)

A．v＝log2t　　　　　　 B．v＝logt