第4章 2.1 对数的运算性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§2　对数的运算

§2.1　对数的运算性质

[教材梳理]

导学　对数的运算性质

　指数的运算法则有哪些？

[提示]　am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn.

　(1)设loga2＝m，loga3＝n.如何求am＋n?

(2)上题中条件若换为logaM＝m，logaN＝n，如何求am＋n呢？

(3)在问题2的基础上，怎么用m，n表示loga(M·N)，还能得到什么结论？

[提示]　(1)因为loga2＝m，loga3＝n，

所以am＝2，an＝3，

故am＋n＝am·an＝2×3＝6.

(2)因为logaM＝m，logaN＝n，

所以am＝M，an＝N，

故am＋n＝am·an＝M·N.

(3)loga(M·N)＝logaM＋logaN＝m＋n.

◎结论形成

对数的运算性质

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)lg (x＋y)＝lg x＋lg y．(　　)

(2)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(a>0且a≠1，MN>0)(　　)

(3)＝log2＝1.(　　)

(4)loga b2＝2loga b．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．已知lg 2＝a，lg 3＝b，则lg 12等于(　　)

A．a2＋b　　　　　 B．b＋2a

C．a＋2b    D．a＋b2

解析　lg 12＝lg 3＋2lg 2＝b＋2a，故选B.

答案　B

3．计算：2log510＋log50.25＝____________．

解析　原式＝log5102＋log50.25＝log525＝2.

答案　2

4．计算log153－log64＋log155－2log63＝____________．

解析　原式＝log153＋log155－(log64＋log69)

＝log1515－log636＝－1.

答案　－1

题型一　对数的运算性质简单应用

　(1)计算：

①＝____________．

②lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2＝____________．

(2)当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，下列等式成立吗？如果不成立，请举一个反例．

①loga(M·N)＝logaM·logaN；

②loga＝；

③loga(M＋N)＝logaM＋logaN；

④loga(M－N)＝logaM－logaN.

(1)[解析]　①＝＝＝1.

②原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋

1＝3.

[答案]　①1　②3

(2)[解析]　①不成立．如M＝100，N＝10，

lg (100×10)＝3≠lg 100·lg 10＝2.

②不成立．如M＝100，N＝10，lg ＝1≠＝2.

③不成立．如M＝N＝1，log22＝1≠log21＋log21＝0.

④不成立．如M＝2，N＝1，log2(2－1)＝0≠log22－log21＝1.

●素养聚焦　通过应用对数的运算性质求值，提升了数学运算核心素养．

◆规律方法

底数相同的对数式的化简和求值的方法

两种常用方法：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；

(2)“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).

[触类旁通]

1．(多选)若a＞0且a≠1，b＞0，c＞0，n，m∈N＋，n＞1，则下列等式成立的是(　　)

A．loga(b2－c2)＝2logab－2logac

B．(loga3)2＝2loga3

C.loga＝logab

D．logab＝－loga

解析　由对数的运算性质知，只有CD成立，故选CD.

答案　CD

题型二　对数运算性质的综合应用题点多探 多维探究

角度1　与方程有关的对数问题

　若2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为(　　)

A．4　　　　　　　 B．1或

C．1或4    D．

[解析]　因为2lg (x－2y)＝lg x＋lg y，