第4章 1 对数的概念-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§1　对数的概念

[教材梳理]

导学1　对数的概念

　某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……依此类推，那么1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数N是多少？

上述问题中，如果已知细胞分裂后的个数N，能求出分裂次数x吗？

[提示]　N＝2x；能，x＝log2N.

◎结论形成

1．对数的定义：如果a(a＞0，且a≠1)的b次幂等于N，即__ab＝N__，那么数b叫作__以a为底N的对数__，记作__logaN＝b__．其中a叫作对数的__底__数，N叫作__真__数．

2．常用对数：当对数的底数a＝10时，通常称之为__常用对数__，并将log10N简记为__lg_N__．

3．自然对数：以无理数e＝2.718 281…为底数的对数称之为自然对数，并将logeN简记为__ln_N__．

导学2　对数的性质及对数恒等式

　是不是所有的实数都有对数？为什么？

[提示]　零和负数没有对数，因为ax＝N(a＞0且a≠1)中无论x取什么值，N总大于0，故零和负数无对数．

　根据对数的定义以及对数与指数的关系，你能求出loga1及logaa的值吗？

[提示]　设loga1＝x，则ax＝1＝a0，故x＝0，即loga1＝0，同理logaa＝1.

　根据对数的定义，你能推出对数恒等式＝N吗？

[提示]　因为ax＝N，x＝logaN，所以＝N.

◎结论形成

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为(－3)2＝9，所以log(－3)9＝2.(　　)

(2)因为2x＝3，所以log32＝x.(　　)

(3)log35＝log53.(　　)

(4)ln (ln e)＝0.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．将＝化为对数式正确的是(　　)

A．log3＝　　　　 B．log＝3

C．log＝3    D．log3＝

解析　＝化为对数式：log＝3，选B.

答案　B

3．已知logx16＝2，则x＝(　　)

A．4　　 B．±4　　

C．256　　 D．2

解析　∵logx16＝2，∴x2＝16，即x＝±4.

又x＞0且x≠1，故x＝4，选A.

答案　A

4．＝____________．

解析　

答案　8

题型一　对数的概念

　(1)若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是(　　)

A．≤x＜2　　　　　 B．＜x＜2

C．＜x＜2或x＞2    D．2≤x≤3

(2)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：

①2－7＝；②log32＝－5；③lg 1 000＝3；

④ln x＝2.

(1)[解析]　依题意得解得＜x＜2或x＞2.故选C.

[答案]　C

(2)[解析]　①由2－7＝，可得log2＝－7.

②由log32＝－5，可得＝32.

③由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.

④由ln x＝2，可得e2＝x.

◆规律方法

指数式与对数式互化的思路

1．指数式化为对数式

将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．

2．对数式化为指数式

将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．

提醒：在指数式与对数式互化过程中底数要始终保持不变．

[触类旁通]

1．将下列指数式与对数式进行互化．

(1)5＝；(2)log4＝4；

(3)lg 0.001＝－3.

解析　(1)由5＝，可得log5＝－.

(2)由log4＝4，可得()4＝4.