第3章 3 第2课时 指数函数的图象和性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

第2课时　指数函数的图象和性质的应用

[教材梳理]

导学　指数函数y＝ax和y＝(a＞0且a≠1)的图象与性质

　对于函数y＝ax和y＝bx；当a＞b＞0(a≠1，且b≠1)时，对一个实数x0，什么时候＞？什么时候＜？什么时候＝?

[提示]　由图象可知：①当a＞b＞1时，x0∈(0，＋∞)，＞；x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝；

②当1＞a＞b＞0时，x0∈(0，＋∞)，＞；x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝.

综上可知：对a＞b＞0(a≠1，且b≠1)始终有x0∈(0，＋∞)，＞；x0∈(－∞，0)，＜；x0＝0，＝.

　观察同一平面直角坐标系中函数①y＝；②y＝；③y＝3x；④y＝2x的图象，你能得出什么规律？

[提示]　函数y＝与y＝2x的图象关于y轴对称，函数y＝与y＝3x的图象关于y轴对称．

◎结论形成

底数互为倒数的两个指数函数的图象与性质的联系

指数函数y＝ax和y＝(a＞0且a≠1)的图象关于__y轴__对称，且它们在R上的单调性相__反__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　)

(2)对于任意的x∈R，一定有3x＞2x.(　　)

(3)y＝3是刻画指数增长变化规律的函数模型．(　　)

(4)若ax－1>a2则x>3.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．若y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝，则(　　)

A．y1＞y2＞y3　　　　 B．y1＞y3＞y2

C．y2＞y1＞y3    D．y3＞y1＞y2

解析　∵y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5，

∴y1＞y3＞y2，故选B.

答案　B

3．若指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在区间[1，2]上的最大值等于3a，则a＝____________．

解析　当a＞1时，依题意得a2＝3a，解得a＝3.

当0＜a＜1时，依题意得a2＝3a不成立．故a＝3.

答案　3

4．函数y＝ 的定义域是____________．

解析　由－4≥0，即22－x≥22，即x≤0，故函数定义域是(－∞，0].

答案　(－∞，0]

题型一　比较指数幂的大小

　(1)设a＝20.3，b＝0.32，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c　　　　 B．b＜c＜a

C．c＜b＜a    D．b＜a＜c

(2)比较下列各组数的大小：

①0.80.5与；

②20.3，，80.2；

③0.6－2与.

(1)[解析]　因为a＝20.3，c＝＝22.5，

所以c＞a＞1.又因为b＝0.32＜1，所以c＞a＞b.

[答案]　D

(2)[解析]　①＝＝0.80.4，

因为函数y＝0.8x在定义域R内是减函数，

又因为0.5＞0.4，所以0.80.5＜0.80.4，

即0.80.5＜.

②∵＝20.4，80.2＝20.6，

又y＝2x在定义域R上为增函数，

∴20.6＞20.4＞20.3，

即80.2＞＞20.3.

③因为0.6－2＞0.60＝1，＜＝1，

所以0.6－2＞.

◆规律方法

比较幂值大小的三种类型及处理方法

[触类旁通]

1．比较(1－2b)3.4与(1－2b)3.5的大小．

解析　(1)当1－2b＞1，即b＜0时，y＝(1－2b)x递增．

所以(1－2b)3.4＜(1－2b)3.5.

(2)当0＜1－2b＜1，即0＜b＜时，y＝(1－2b)x递减，

所以(1－2b)3.4＞(1－2b)3.5.