第3章 3 第1课时 指数函数的概念 指数函数的图象和性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§3　指数函数

第1课时　指数函数的概念　指数函数的图象和性质

[教材梳理]

导学1　指数函数的定义

　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y.

(1)变量x与y间存在怎样的关系？

(2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？

[提示]　(1)y＝2x，x∈N＋.

(2)是．符合函数的定义．

◎结论形成

当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有__唯一__确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝__ax__是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数．

导学2　指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质

　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，并回答下列问题：

(1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？

[提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数．

(2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？

[提示]　不论底数a＞1还是0＜a＜1，图象都过定点(0，1).

(3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性)

[提示]　定义域为R，值域为{y|y＞0}，过(0，1)点，a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，没有最值．

◎结论形成

指数函数的图象和性质

 [基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝x5是指数函数．(　　)

(2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　)

(3)指数函数的图象一定在x轴上方．(　　)

(4)y＝ax(a>0且a≠1)是单调函数．(　　)

解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数．

(2)指数函数的系数为1.

(3)正确，　(4)正确．

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数y＝2－x的图象是(　　)

解析　y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B.

答案　B

3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为____________．

解析　设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，

因为图象经过点(2，4)，

所以f(2)＝4，即a2＝4.

因为a＞0且a≠1，得a＝2.

即函数的解析式为f(x)＝2x.

答案　f(x)＝2x

4．函数y＝4x＋2的值域是____________．

解析　∵当x∈R，4x＞0，∴y＞2.

即值域为(2，＋∞).

答案　(2，＋∞)

题型一　指数函数的概念

　(1)下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝πx；④y＝xx.其中为指数函数的个数是(　　)

A．0　　　 B．1　　　

C．2　　　 D．3

(2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝____________．

[解析]　(1)函数y＝2×3x，y＝3x＋1，y＝xx均不符合指数函数解析式的特征，不是指数函数，而y＝πx符合指数函数的定义，是指数函数．

(2)由题意a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0.

解得a＝1或a＝2，而a＝1不符合指数函数的定义，故a＝2.

[答案]　(1)B　(2)2

◆规律方法

判断一个函数是指数函数的方法

(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0，且a≠1)这一结构特征．

(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该