第3章 3 第1课时 指数函数的概念 指数函数的图象和性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§3　指数函数 第1课时　指数函数的概念　指数函数的图象和性质 学业标准 素养目标 1．理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象．(难点) 2．初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题．(重点) 1．通过指数函数的图象和性质的探究，培养直观想象等核心素养． 2．通过求指数函数的定义域、值域，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　指数函数的定义 　细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个……设1个细胞分裂x次后得到的细胞个数为y. (1)变量x与y间存在怎样的关系？ (2)上述对应关系是函数关系吗？为什么？ [提示]　(1)y＝2x，x∈N＋. (2)是．符合函数的定义． ◎结论形成 当给定正数a，且a≠1时，对于任意的实数x，都有__唯一__确定的正数y＝ax与之对应．因此，y＝__ax__是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数． 导学2　指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质 　分别在同一坐标系内画出y＝2x与y＝的图象及y＝3x与y＝的图象，并回答下列问题： (1)猜想图象的上升、下降与底数a有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？ [提示]　它们的图象都在x轴上方，向上无限伸展，向下无限接近于x轴；当底数大于1时图象上升，为增函数；当底数大于0小于1时图象下降，为减函数． (2)图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？ [提示]　不论底数a＞1还是0＜a＜1，图象都过定点(0，1). (3)你能根据具体函数的图象抽象出指数函数y＝ax的哪些性质？(定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性) [提示]　定义域为R，值域为{y|y＞0}，过(0，1)点，a＞1时为增函数，0＜a＜1时为减函数，没有最值． ◎结论形成 指数函数的图象和性质 图象和性质　 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：__R__ (2)值域：__(0，＋∞)__ (3)过定点：__(0，1)__，即当x＝0时，y＝1 (4)当x＜0时，__0__＜y＜__1__； 当x＞0时，y＞__1__ (5)在R上是__增__函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__正无穷大__； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__0__ (4)当x＜0时，y＞__1__； 当x＞0时，__0__＜y＜__1__ (5)在R上是__减__函数． 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__0__； 当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__正无穷大__ (a＞b＞1) (0＜a＜b＜1) (1)当x＜0时，0＜ax＜bx＜1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，ax＞bx＞1 (1)当x＜0时，ax＞bx＞1； (2)当x＝0时，ax＝bx＝1； (3)当x＞0时，0＜ax＜bx＜1 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x5是指数函数．(　　) (2)y＝2ax(a＞0，且a≠1)是指数函数．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴上方．(　　) (4)y＝ax(a>0且a≠1)是单调函数．(　　) 解析　(1)y＝x5不是指数函数，指数函数的底数是常数． (2)指数函数的系数为1. (3)正确，　(4)正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝2－x的图象是(　　) 解析　y＝2－x＝，故此函数是指数函数，且为减函数，故选B. 答案　B 3．若指数函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为____________． 解析　设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)， 因为图象经过点(2，4)， 所以f(2)＝4，即a2＝4. 因为a＞0且a≠1，得a＝2. 即函数的解析式为f(x)＝2x. 答案　f(x)＝2x 4．函数y＝4x＋2的值域是____________． 解析　∵当x∈R，4x＞0，∴y＞2. 即值域为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 题型一　指数函数的概念 　(1)下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝πx；④y＝xx.其中为指数函数的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D．3 (2)若函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝____________． [解析]　(1)函数y＝2×3x，y＝3x＋1，y＝xx均不符合指数函数解析式的特征，不是指数函数，而y＝πx符合指数函数的定义，是指数函数． (2)由题意a2－3a＋3＝1，即a2－3a＋2＝0. 解得a＝1或a＝2，而a＝1不符合指数函数的定义，故a＝2. [答案]　(1)B　(2)2 ◆规律方法 判断一个函数是指数函数的方法