第3章 1,2 指数幂的拓展～指数幂的运算性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§1　指数幂的拓展

§2　指数幂的运算性质

[教材梳理]

导学1　正分数指数幂、负分数指数幂

　类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？

[提示]　比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．

　那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a>0，是否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？

[提示]　＝a，＝a＝a，＝a，＝a＝a.

◎结论形成

分数指数幂的意义

1．正分数指数幂

给定__正__数a和正__整__数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的__正__数b，使得__bn＝am__，则称b为a的次幂，记作b＝__a__．这就是正分数指数幂．

2．负分数指数幂

给定正数a和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，定义a－＝____＝____，这就是负分数指数幂．

导学2　无理数指数幂

　我们将正整数指数幂扩充到有理数指数幂，那么指数幂的范围能扩充到无理数指数幂吗？能扩充到实数指数幂吗？

[提示]　能．

◎结论形成

给定正数a，对于任意的正无理数α，规定：a－α＝____．

导学3　指数幂的运算性质

对任意正数a，b和实数α，β，实数指数幂均满足下面运算性质：

(1)aα·aβ＝__aα＋β__；(2)(aα)β＝__aαβ__；

(3)(ab)α＝__aαbα__；(4)＝.

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)＝.(　　)

(2)对于a∈R，(a2＋a＋1)0＝1成立．(　　)

(3)a3·a＝a.(　　)

(4)a÷a＝a.(　　)

解析　(1)＝.

(2)因为a2＋a＋1≠0，所以(a2＋a＋1)0＝1成立．

(3)a3·a＝a.

答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2.可化为(　　)

A．a　　　　　　　 B．a

C．a    D．－a

解析　＝a.

答案　A

3．下列等式一定成立的是(　　)

A．a·a＝a    B．a·a＝0

C．(a3)2＝a9    D．a÷a＝a

解析　a÷a＝a.

答案　D

解析　原式＝－－(2－1)3＝－－＝.

答案　

题型一　根式与分数指数幂的互化

　用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：

(1)a2；(2)；(3)·；

(4)()2·.

◆规律方法

根式与分数指数幂互化的规律及技巧

 (1)规律：根指数分数指数幂的分母．

被开方数(式)的指数分数指数幂的分子．