第1章 教考衔接2 巧用均值不等式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

均值不等式≤(a，b>0)的应用比较广泛，应用技巧也比较丰富，常见的有连续运用均值不等式求最值，利用均值不等式求参数范围，常数“1”的代换证明不等式，另外均值不等式也常和其他知识交汇考查． 题型一　连续用均值不等式求最值 　已知a>b>0，求a2＋的最小值． [解析]　由a>b>0，得a－b>0，∴b(a－b)≤＝. ∴a2＋≥a2＋≥2＝4， 当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号． ∴a2＋的最小值为4. ◆规律方法 多次使用均值不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法． [触类旁通] 1．已知a>0，b>0，求＋＋2的最小值． 解析　∵a>0，b>0，∴＋＋2≥2＋2≥4＝4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． ∴＋＋2的最小值为4. 题型二　利用均值不等式求参数的值或范围 　(1)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy＝3，若不等式x＋y≥m2－m恒成立，则实数m的取值范围为(　　) A．－2≤m≤1　　　　　 B．－1≤m≤2 C．m≤－2或m≥1 D．m≤－1或m≥2 (2)已知x，y∈(0，＋∞)，若不等式＋≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．[，＋∞) C．[2，＋∞) D．[2，＋∞) [解析]　(1)xy＝3－(x＋y)≤，当且仅当x＝y＝1时等号成立， 解得x＋y≥2，即(x＋y)min＝2. 因为不等式x＋y≥m2－m恒成立，所以m2－m≤(x＋y)min，即m2－m≤2，解得－1≤m≤2. (2)x，y∈(0，＋∞)，不等式＋≤a恒成立，所以a>0， 两边平方得x＋2＋2y≤a2， a2≥2＋恒成立，需a2≥， 而≤＝2，当且仅当x＝2y时，等号成立，∴a2≥4，∴a≥2. [答案]　(1)B　(2)C ◆规律方法 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． [触类旁通] 2．(1)∀x∈(1，＋∞)，不等式2x＋m＋>0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m<－8 B．m>－8 C．m<－6 D．m>－6 (2)若关于x的不等式x2－ax＋2>0在区间[1，5]上恒成立，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析　(1)不等式2x＋m＋>0化为：2(x－1)＋>－m－2， ∵x>1，∴2(x－1)＋≥2×＝4，当且仅当x＝2时取等号． ∵不等式2x＋m＋>0对一切x∈(1，＋∞)恒成立， ∴－m－2<4，解得m>－6，故选D. (2)当x∈[1，5]时，由x2－ax＋2>0可得a<x＋，则a<， 由基本不等式可得x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， 所以，a<2. 答案　(1)D　(2)B 题型三　利用均值不等式比较大小 　 (1)(多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．a2＋b2≥ B．＋≥ C．ab＋b≤ D．a2＋b2－ab≥ (2)(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为A(a，b)＝，几何平均数为G(a，b)＝.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即Lp(a，b)＝，其中p为有理数．下列结论正确的是(　　) A．L0.5(a，b)≤L1(a，b) B．L0(a，b)≤G(a，b) C．L2(a，b)≤A(a，b) D．Ln＋1(a，b)≤Ln(a，b) [解析]　(1)对选项A，a>0，b>0，且a＋b＝1，所以ab≤＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立．所以a2＋b2＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确． 对选项B，＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋2×＝2， 当且仅当a＝b＝时等号成立． 所以＋≤，故B错误． 对选项C，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，ab＋b＝(1－b)b＋b＝－＋， 当b＝时，max＝，所以ab＋b≤，故C正确． 对选项D，由A知：ab≤，所以a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab≥1－＝， 当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确． (2)对于A，L0.5(a，b)＝＝≤L1(a，b)＝，当且仅当a＝b时，等号成立，故A正确； 对于B，L0(a，b)＝＝≤＝＝G(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故B正确； 对于C，L2(a，b)＝＝≥＝＝＝A(a，b)，当且仅当a＝b时，等号成立，故C不正确； 对于D，当n＝1时，由选项C可知，L2(a，b)≥＝L1(a，b)，故D不正确． [答案]　(1)ACD　(2)AB ◆规律方法◆规律方法 运用均值不等式比较大小的注意点 (1)要灵活运用均值不等式，特别注意其变