精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考(一)数学试题

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（一） 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为（ ） A. 3 B. 2 C. －2 D. －3 3. 已知，是关于x的方程的两个根.若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 函数的图象大致为（ ） A B. C. D. 5. 已知解集为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cos10°≈0.985） A. 45.25 B. 50.76 C. 56.74 D. 58.60 7. 已知定义域是R的函数满足：，，为偶函数，，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -3 8. 如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 C. 函数的单调递增区间为 D. 的最小正周期为 10. 如图所示，该几何体由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若平面与平面的交线为，则AC//l C. 三棱柱外接球的表面积为 D. 当该几何体有外接球时，点到平面的最大距离为 11. 同学们，你们是否注意到，自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深洞的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是（ ） A. 是函数为偶函数的充分不必要条件； B. 是函数为奇函数的充要条件； C. 如果，那么为单调函数； D. 如果，那么函数存极值点. 12. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（ ） A. 为递减数列 B. C. 是数列中的最大项 D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，若，则______ . 14. 已知函数，则函数的零点个数为______. 15. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则平面截此正方体所得截面面积的最大值为______. 16. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______. （参考数据：取.） 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点. （1）证明：平面； （2）求点A到平面的距离. 18. 记锐角的内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的最大值． 19. 甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概