第4章 §4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

《作业与测评》新教材 数学·必修第一册 北师版 　§4　指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 知识点一　几类函数模型增长的比较 1.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是(　　) A．y＝10000x B．y＝log2x C．y＝x1000 D．y＝x 答案　D 解析　y＝x为指数函数，增长最快． 2．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是(　　) A．2x>x>lg x B．2x>lg x>x C．x>2x>lg x D．lg x>x>2x 答案　A 解析　如图所示，在同一坐标系中画出y＝2x，y＝x及y＝lg x的图象，观察知，当x∈(0，1)时，2x>x>lg x，故选A. 知识点二　函数增长模型的应用 3.以固定的速度向如图所示的瓶子中注水，则水深h与时间t的函数关系是(　　) 答案　B 解析　水深h的增长速度越来越快． 4．有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 4 13 28 49 76 下列所给函数模型较适合的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 答案　C 解析　通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C. 5．下列四种说法中，正确的是(　　) A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快 B．对任意的x＞0，xa＞logax C．对任意的x＞0，ax＞logax D．不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax 答案　D 解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较．对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立．对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立．故选D. 6．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.0052，lg 1.2≈0.0792) 解　(1)x年后该城市人口总数y＝100(1＋1.2%)x. (2)设x年以后该城市人口将达到120万，即100(1＋1.2%)x＝120，化简得1.012x＝1.2. x＝log1.0121.2＝≈≈15.2. 所以大约16年以后，该城市人口将达到120万. 易错点　几类函数模型的增长差异 7.下列函数中y随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A．y＝ex B．y＝100ln x C．y＝x10 D．y＝100·2x [易错分析]　错误的根本原因在于影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而非其系数，本题易误认为100>，得出y＝100·2x比y＝ex增大速度快的错误结论，错选D. 答案　A 正解　通过观察函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)，y＝xα(α>0)的图象可得y＝ax(a＞1)的增长速度大于y＝xα(α>0)的增长速度，y＝xα(α>0)的增长速度大于y＝logax(a＞1)的增长速度，∴A，D中的函数比B，C中的函数增长速度快．又y＝ex中底数e>2，∴y＝ex的增长速度大于y＝100·2x的增长速度，故选A. 一、选择题 1．[多选]当a>1时，下列结论正确的有(　　) A．指数函数y＝ax，当a越大时，其函数值增长越快 B．指数函数y＝ax，当a越小时，其函数值增长越快 C．对数函数y＝logax，当a越大时，其函数值增长越快 D．对数函数y＝logax，当a越小时，其函数值增长越快 答案　AD 解析　结合指数函数和对数函数的图象可知A，D正确． 2．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　) 答案　D 解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D. 3．函数y1＝2x与y2＝x2，当x>0时，图象的交点个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　当x＝2或4时，y1＝y2，当x>4时，y1>y2，故交点个数是2. 4．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245 2189 196