第4章 §3 3.3 第2课时 对数函数的综合问题-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评word（北师大版2019）

第2课时　对数函数的综合问题

 

 

知识点一　与对数函数有关的复合函数的定义域

1.若函数y＝lg (x－1)＋lg (x－2)的定义域为M，函数y＝lg (x2－3x＋2)的定义域为N，则(　　)

A．MN  B．NM

C．M＝N  D．M∩N＝∅

答案　A

解析　由Error!得x>2，即M＝{x|x>2}，由x2－3x＋2>0，得x>2或x<1，即N＝{x|x>2或x<1}，则MN.故选A.

2．已知函数f(x)＝log2在区间(2,3)上有意义，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　∵函数f(x)＝log2在区间(2,3)上有意义，∴x＋－a>0在x∈(2,3)上恒成立，令g(x)＝x＋，则g(x)在(2,3)上单调递增，∴g(x)>g(2)＝，∴a≤.∴实数a的取值范围是.

知识点二　与对数函数有关的复合函数的单调性与值域

3.函数f(x)＝log(6＋x－2x2)的单调递增区间为(　　)

A.  B．

C.  D．

答案　B

解析　要使函数有意义，则6＋x－2x2＞0，解得－＜x＜2，故函数的定义域是.令t＝－2x2＋x＋6，x∈，则函数t在上单调递增，在上单调递减，又函数y＝logt在定义域上单调递减，由复合函数的单调性知y＝log(6＋x－2x2)的单调递增区间为.故选B.

4．已知f(x)＝loga(2－ax)为[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(0,2)  D．[2，＋∞)

答案　B

解析　题目中隐含条件a>0，且a≠1，u＝2－ax为减函数，故要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则a>1，且2－ax在x∈[0,1]时恒为正数，即2－a>0，故可得1<a<2.

5．函数y＝log2(x2－2x＋3)的值域是________．

答案　[1，＋∞)

解析　令u＝x2－2x＋3，则y＝log2u，又u＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴y＝log2u≥log22＝1，即函数y的值域为[1，＋∞)．

6．已知函数f(x)＝log2(ax2＋ax＋1)，若定义域为R，则a的取值范围为________；若值域为R，则a的取值范围为________．

答案　[0,4)　[4，＋∞)

解析　若函数的定义域为R，则ax2＋ax＋1＞0恒成立．当a＝0时，1＞0恒成立．符合题意；当a≠0时，可得Error!解得0＜a＜4.综上可得，a的取值范围为[0,4)．若函数的值域为R，则ax2＋ax＋1能取所有的正数，a＝0显然不符合题意，则Error!解得a≥4，故a的取值范围为[4，＋∞)．

知识点三　与对数函数有关的复合函数的奇偶性

7.函数f(x)＝x3＋ln (－x)的图象大致为(　　)

答案　C

解析　易知f(x)的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)3＋ln [＋x]＝－x3＋ln (＋x)＝－x3－ln (＋x)－1＝－x3－ln (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为f(1)＝1＋ln (－1)＞0，所以排除A.故选C.

8．已知函数f(x)＝lg (＋ax)的图象关于原点对称，则实数a的值为________．

答案　±2

解析　因为函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数，故f(－1)＝－f(1)，lg (－a)＝－lg (＋a)，－a＝，解得a＝±2.

知识点四　对数函数的实际应用

9.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝mlog2(x＋1)，设这种动物第1年有200只，到第7年它们将发展到(　　)

A．300只  B．400只

C．500只  D．600只

答案　D