4.3.3 对数函数y=log2x的图象和性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（北师大版）

2.B设对数函数为y=logx,则2=log9, 函数， a2=9,a=3,y=logx,故选B. 2x>0, 3.D要使函数y=lg(3x-2)有意义，应满足3x-2>0,.x> 所以5r-3>0,解得号<<1， 号，故选D, 2x>5x-3」 所以使不等式1og2(2x)>log2(5x-3)成立的实数x的集合为 4.2将A(4,y)代入y=log2x得1og4=y0,∴y0=2 5.log2x函数y=a(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logx,又 号<s f2)=1,即log.2=1,所以a=2.故fx）=log2x 对点训练3：(1)x1x>1} 因为函数y=log号x是(0，+∞)上 3.2对数函数y=logx的 的减函数， 图象和性质 2x>0, 所以5x-3>0,解得x>1. 必备知识探新知 2x<5x-3. 知识点(1)增R(2)>y<0 所以使不等式log(2x)>log号(5x-3)成立的实数x的集合 关键能力攻重难 为xlx>1}. 例1：先作出函数y=log2x的图象，如图甲.再将y=log2x在x轴 2{品<<号} 不等式变为log(2-3x)<log4,因 下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方（原来在x轴上方 的图象不变)，得函数y=Ilog2x的图象，如图乙；然后将y= r2-3x>0, 为函数y=log2x是(0，+∞)上的增函数，所以{ Ilog2xl的图象向上平移2个单位长度，得函数y=1log2xl+2 -3解 的图象，如图丙.由图丙得函数y=1log2xl+2的单调递增区 得 2 间是[1，+)，单调递减区间是(0,1)，值域是[2，+∞). 2<x<3 .所以使不等式1og(2-3x)<-2成立的实数x 的取值范鬧是{3<x<号} 7 课堂检测固双基 :1.C对数函数y=log2x的底数大于1，∴.y=log2x为增函数. 图甲 图乙 图丙 又对数函数的图象必过(1,0)点.故可得到答案C. 对点训练1：函数的定义域为{xlx≠0，xeR}. 2.D:函数y=log2x在[1,2]上单调递增且1≤x≤2，.og21 因为f-x)=log2-xl=log2lxl=f(x), ≤log2x≤log22,即0≤y≤1，故选D. 所以函数y=log2lx|为偶函数.所以函数的图象关于y轴对3.B由对数函数y=logx=-log2x,又因为y=logx的图象过 称，结合函数y=logx的图象，可得函数y=logx1的图象如点(1,0)，所以y=logx的图象也恒过定点(1,0)，故选B. 图所示. 4.Dy=g(x)与y=log2x互为反函数，故g(x)=2,故g(2)= 22=4,故选D. 5.(子，+）不等式g(2x-)>-1变为lg(2-1)> 1s:7,因为函数y=bgx在(0，+0)上是增函数，所以2x- 单调增区间为(0，+∞)；单调减区间为(-∞，0)： 1>,解得x>子 例2：(1)因为函数y=logx在定义域(0，+0)上是增函数，且 3.3对数函数y=logx的 3.2<3.8,所以log23.2<log23.8. (2)因为函数y=log2x在定义域(0，+∞)上是增函数，且0.5 图象和性质 <0.8,所以og,0.5<1g0.8<0,所以1 1 41og0.8<1g,0.5 关键能力攻重难 (3)因为函数y=lgx在定义域(0，+0)上是减函数，且3.2例1：B在图中作一条直线y=1. <3.6,所以log3.2>log43.6. 对点训练2：a<c<b因为a=log,0.2<0,b=log0.2=lg5 1 =bgs5,c=lg2=kg2=}g2=log:万<1ge5=b,所以 C a<c<b. 例3{号<<1 因为函数y=log2x是(0，+o∞)上的增 由1, Ly =loga*, 得log,x=1,所以x=a.所以直线y=1与曲线 -305 C:y=log3x的交点坐标为(a3,1). 对点训练4：A函数f代x)的定义域为(-，+∞)，关于源点对称 同理可得直线y=1与曲线C4,C1,C2的交点坐标分别为(a4, 1),(a1,1),(a2,1). 又-x)=gR+1- 1 由图象可知a<a4<a1<a2,故选B. +I+x 对点训练1：B由lga+lgb=0得ab=1, =唱（屋+i-x)(R+1+) 则f代x)与g(x)的单调性一致，故选B. =lg(√2+1+x) 例2：由3x2-2x-1>0,得函数的定义域为x >1或<-} 1 =(E1+ 当a>1时，若xe(1,+∞)，y=logu为增函数，又u=3x -2x-1为增函数， =-lg- =-fx), /x2+1+x .fx)=logn(3x2-2x-1)为增函数 ·.函数f(x)为奇函数 11 若xe(-0,-3):u=3x-2x-1为减函数， 易错警示 f代x)=log(3x2-2x-1)为减函数. 例5：B令u=2-ax,由于a>0且a≠1，所以u=2-ax为减函 当0<a<1时，y=log,u为减函数，若x∈(1，+∞)，则fx)= 数，又根据对数函数定义域要求u=2-ax在[0,1]上恒大于 log.(3x2-2x-1)为减函数， 零，当x∈[0,1]时，umn=2-a>0,解得a<2. 根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)=log(2-ax) 若xe(-,-号），则x)=log.(3x-2x-1）为增函数 在[0,1]上为减函数，则需y=logu为增函数，所以a>1. 综上所述，当0<a<1时x)在(-，-子）上单调递增，在(1， 综上可得1<a<2,故选B. 课堂检测固双基 +∞)上单调递减： 1.D由于log1=0(a>0且a≠1)，则函数y=log(x-4)+ 当a>1时x)在(-0，-号)上单调递减，在(1，+)上单调，2(a>0且a≠)恒过定点(5,2)，故选D 2.C由对数函数的单调性易知0<a<1,故选C 递增 3.A令x2-2x-3>0,.(x-3)(x+1)>0, 对点训练2：A由题意，得x2-3x-10>0, .x<-1或x>3.f(x)的定义域(-∞，-1)U(3,+∞) .(x-5)(x+2)>0,∴.x<-2或x>5. 令u=x2-2x-3, 令u=x2-3x-10, 函数f(x)的单调递减区间即为u=x2-2x-3 函数f(x)的单调递增区间即为函数u=x2-3x-10在(-∞， 在(-∞，-1)和(3，+∞)上的递减区间.故选A. -2)和(5，+∞)上的单调递减区间，又u=x2-3x-10在 (-∞，-2)上递减，故选A 4 由题意得f代x)mx=loga=1, 例3：(1)y=log2(x2+4)的定义域为R f(x)min =loga (2a)=1+log,2, x2+4≥4，.lbg2(x2+4)≥1og4=2. y=log2(x2+4)的值域为yly≥2}. 1=3×(1+1og,2)a=2 4 (2)设u=3+2x-x2,则u=-(x-1)2+4≤4. ;5.(1)令t=x-1,则x=t+1. .u>0,.0<u≤4. 由题意知，x>0,即0<x<2,则-1<t<1. 2-x 又y=logu在(0，+∞)上是减函数， t+1 .lbgu≥log4=-2, 所以0)2-社D= ·y=log号(3+2x-x2)的值域为{yly≥-2. 故)=g+ (-1<x<1). 对点训练3：A设u=3+1,3+1>1,且y=logu在(1， 1-x +∞)上单调递增， (2≥lg3s+10e-1>0-1<x<1 .log(3+1)>log1=0,故该函数的值域为(0，+∞)，故选A. 例4：(1)由题意得+1>0， 由+1>0，得x>号因为-1<x<1,所以1-x>0 .-1<x<1. 1-x>0, “函数f(x)的定义域为(-1,1). 3x+1,得+1≥(3x+11-。 (2)由(1)知函数f(x)的定义域为(-1,1)关于原点对称. 即32-x≥0，x(3x-1)≥0，解得≥3或≤0， .'.f(-x)=l0g (-x+1)-log,(1+x) =-[log.(1+x)-log.(1-x)] 又x>- ，1<x<1,所以-<≤0或<1 =-f(x), ∴.函数f(x)为奇函数 故原不等式的解集为(-号0[号， 306●103 3.3对数函数y=logx的图象和性质 必备知识探新知 知识点 对数函数的图象和性质 (1)图象和性质 a>1 0<a<1 y↑x=1y=log x=1 图 (1,0) /4(1,0) y=logx ①定义域：(0，+0) ②值域：R ③过定点(1,0)，即x=1时，y=0 ④当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0 ④当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0 质 ⑤在定义域(0，+∞)上是增函数 ⑤在定义域(0，+∞)上是减函数 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无 穷大；当x值趋近于0时，函数值趋近于负无 穷大：当x值趋近于0时，函数值趋近于正无 穷大 穷大 (2)本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察这些图象的位置、公共点和 变化趋势，它们的共性即对数函数的性质； (3)应用：①比较大小；②求定义域、值域：③解不等式；④求参数的范围 关键能力 攻重难 ●题型一对数函数的图象 归纳提升： 1.熟记函数图象的分布规律， 例1.已知图中曲线G,G.CC,分别是函数=log,y=g,y= 就能在解答有关对裁图象的选 择、填空题时，灵活运用图 l0gx,y=logx的图象，则a1,42,a3,a4的大小关系是（）象，数形结合解决. 2.对数值logx的符号(x>0,a> 0且a≠1)规律：“同正异负”. (1)当0<x<1,0<a<1或x> 1,a>1时，logx>0,即当真数x 和底数a同大于（或大于0且小 于)1时，对数logx>0,即对裁 值为正数，简称为“同正”： A.a4<a3<a2<a B.a3<as<a<az (2)当0<x<1,a>1或x>1, C.a2<a1<a3<a4 D.a3<a4<a2<a1 0<a<1时，logx<0,即当真裁 x和底裁a中一个大于1，而另一 [分析]由图象来判断参数的大小，需要抓住图象的本质特 个大于0且小于1时，也就是说 征和关键点.根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关 真裁x和底裁a的取值范围“相 异”时，对数l0gx<0,即对数 系，利用loga=1,结合图象判断. 值为负裁，简称为“异负”.因此 对数的符号简称为“同正异负“ [归纳提升] 3.指数型、对数型函数的图象 与性质的讨论，常常要转化为 相应指数函数，对裁函数的图 象与性质的问题 104 》对点训练1 已知lga+lgb=0,则函数f(x)=a*与函数g(x)=log6x在同一坐标系 中的图象可能是 归纳提升： 1.求复合函数单调性的具 ●题型二 对数型复合函数的单调性 体步骤是：(1)求定义 域：(2)拆分函数；(3) 例 2.讨论函数f(x)=log(3x2-2x-1)的单调性. 分别求y=f(u),u=p(x) [分析]求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单 的单调性；(4)按“同增 调区间必须是定义域的子集， 异减”得出复合函数的单 调性 2.复合函数y= f[g(x)]及其里层函裁 u=g(x)与外层函数y= f(以)的单调性之间的关 系（见下表）. 单调性 y=爪μ)增画数增函最流西数减函我 μ=g(x) 增画数减函数增函数風西级 少=f[g()]地画数风函数周岛数墙画数 。[归纳提升] 归纳提升： 〉对点训练2 1.与对裁函数有关的复 合函数值域：求与对裁 函数f(x)=log号(x2-3x-10)的单调递增区间为 函数有关的复合函数的 A.(-∞，-2) 值域，一方面，要抓住 对数函数的值域；另一 c(-2引 D.(5,+0) 方面，要抓住中间变量 的取值范围，利用对裁 ●题型三对数型复合函数的值域 函数的单调性来求其值 域（多采用换元法）. 例3求下列函数的值城： (1)y=l1og2(x2+4); 2.对于形如y=log f(x) (2)y=log(3+2x-x2). (a>0,且a≠1)的复 合函数的值域的解题步 骤：①分解成y=logu, u=f(x）两个函裁 ②求f(x)的定义域： ③求u的取值范围： ④利用y=log,u的单调 性求解. P[归纳提升] ●105 】对点训练3 函数f(x)=log2(3+1)的值域为 () A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+0) D.[1,+0) ●题型四对数型复合函数的奇偶性 例4.已知函数)=lg.(x+1)-lg,1-x)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明 [分析](1)函数奇偶性判断的方法是什么？ (2)对数的运算法则是什么？ 归纳提升： 判断函数的奇偶性 时，首先要注意求函 数的定义域，函数具 [归纳提升]有奇偶性，其定义城 》对点训练4 必须关于原点对称 函数(x)=lg+1+ 是 ( A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 ●易错警示忽视对数函数的定义域 例5.若函数y=l0g,(2-ax)在x∈[0,1上是减函数，则a的取值范围是 () A.(0,1)B.(1,2) C.(0,2) D.(1,+0) [错解]错解一：因为函数f(x)=log(2-ax)在[0,1]上是减函数， 根据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A. 错？解二：令u=2-ax,由于a>0且a≠1，所以u=2-ax为减函数，根 据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)=log(2-ax)在[0， 1]上为减函数，则需y=logu为增函数，从而得a>1,故选D. [辨析]在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异减”法 则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全面，犯 了知识性和能力性的双重错误. [点评]对数型函数是考查定义域问题的重点函数.因此，在解决真 数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点，可能 会使所求参数范围扩大致误.如本例中，u=2-ax在x∈[0,1]时一定 要保证u>0才有意义，请学生重点关注. 106 课堂检测 固双基 1.函数y=logn(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定 (1)求函数f(x)的解析式； 点 () (2)解关于x的不等式f(x)≥lg(3x+1). A.(4,2)B.(4,0)C.(5,0)D.(5,2) 2.函数f(x)=logx在(0，+∞)上是减函数，则 a的取值范围是 ( A.(0,+∞）) B.(-0,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 3.函数f(x)=1g(x2-2x-3)的单调递减区间是 () A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(1,+∞) D.（3,+∞) 4.若函数f(x)=logx(0<a<1)在区间[a,2a] 上的最大值是最小值的3倍，则a的值 为 夯基提能作业 5.已知函数代x-1)=82产 请同学们认真完成练案[32] §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课标要求 核心素养 1.能从教材实例中归纳出指数函数与一元一 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，应用 次函数、对数函数与一元一次函数增长的 函数模型解决实际问题的重要特征是将实际问题 差异 中的变量关系用函数表示出来，然后对函数进行 2.能从教材实例中理解“对数增长”“直线上 研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题， 升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 必备知识探新知 知识点三种函数的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 幂函数 解析式 y=a(a>1) y=log x y=x(c>0) 单调性 在(0，+∞)上单调 图象（随x的增大） 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 逐渐上升 增长速度（随x的增大） y的增长速度越来越 y的增长速度越来越 y的增长速度 增长关系 存在一个o,当x>x。时，a>x>logx