第8章 §2 数学建模的主要步骤-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册作业与测评课件PPT（北师大版2019）

§2　数学建模的主要步骤 第八章　数学建模活动(一) 1 15分钟对点练 PART ONE 1．包汤圆问题 通常，1公斤面，1公斤馅，包100个汤圆．今天，1公斤面不变，馅比1公斤多了，问应多包几个(小一些)，还是少包几个(大一些)? 问题　圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆．若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v. 知识点　数学建模的主要步骤 假设　(1)皮的厚度一样；(2)汤圆的形状一样． 模型　 2．运输问题 问题提出 如图，铁矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路a千米，B距铁路b千米，现要在铁路上建两座火车站C，D．A处的铁矿石先由公路运到C处，再经铁路运到D处，最后经公路运到B处结束．由A，B向MN作垂线得点E，F，且线段EF的长度为l(很长)千米，公路中汽车速度为u千米/小时，铁路中的火车速度为v千米/小时(u＜v)．为使运输时间最短，火车站应建在什么位置？ 模型假设 (1)铁矿石装车卸车的时间忽略不计； (2)汽车和火车均可随时出发，且匀速行驶． 2 30分钟综合练 PART TWO 解答题 1．买水果问题 平时与大人上街买水果时，一个习以为常的，一代教诲一代的做法是：在市场上买桃子、梨子、苹果时，一般总是先从大的挑选，这种购买方法是合算的，但为什么呢？恐怕很少人会去考虑．下面我们用数学建模的知识解释这种做法的合理性． 实际模型：考虑到外界对这三种水果表皮的污染，从食用卫生的角度出发，一般是去皮后食用，买这三种水果是按重量付钱的，而无论它们的大小如何，其各自的比重是一样的，则重量相等必定体积相等．因此在体积一定的条件下，当然是水果的表面积(皮)之和越小越好． 数学模型：是否重量相等的桃子、梨子、苹果，个数越少，其表面积之和越小呢？于是我们将这三种水果近似看成球体，并且暂不考虑核对食用体积的影响来研究它．从而就三种水果中某种而言，其对应的数学模型为： 设甲、乙两堆体积相等的球，甲堆有球m个，半径分别为r1，r2，…，rm，乙堆有球n(n≤m)个，半径分别为R1，R2，…，Rn，其中Ri≥max{r1，r2，…，rm}，i＝1,2，…，n，求证：甲堆球的表面积之和不小于乙堆球的表面积之和． 模型检验：这一结论与我们实际做法吻合． 模型深化：据日常经验可视果核大小与桃子、梨子、苹果的大小成正比，则一定重量的桃子、梨子、苹果其核亦应相等．因此买这三种水果先从最大的挑选起是不会吃亏的．按它们的大小定价也是合理的．如果它们不去皮食用，那么上述讨论无意义．且上述模型及研究对于球形去皮食用水果都是适用的． 模型假设：(1)所有砖块的长度和重量均为一个单位； (2)参与叠放的砖块有足够多； (3)每块砖块的密度都是均匀的，密度系数相同； (4)最底层的砖块可以完全水平且平稳地放在地面上． 模型求解：(1)考虑两块砖块的叠放情况对只有两块砖块的叠放，注意到此时叠放后的砖块平衡主要取决于上面的砖块，而下面的砖块只起到支撑作用，假设在叠放平衡的前提下，上面砖块超过下面砖块右端的最大前伸距离为x，选择下面砖块的最右端为坐标原点，建立如图所示的坐标系，因为砖块是均匀的，所以它的重心在其中心位置，且其质量可以认为是集中在重心的，于是每个砖块可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点，因为下面的砖块总是稳定的，要想上面的砖块与下面的砖块离开最大 (2)考虑n＋1块砖块的叠放情况 两块砖块的情况解决了，如果再加一块砖块，叠放情况如何呢？如果增加的砖块放在原来两块砖块的上边，那么此砖块是不能再向右前伸了(为什么)，除非再移动底下的砖块，但这样会使问题复杂化，因为这里讨论的是建模问题，不是搭砖块的问题，为了便于问题的讨论，把前两块搭好的砖块看作一个整体且不移动它们的相对位置，而把增加的砖块插入在最底层的砖块下方，于是问题又归结为两块砖块的叠放问题，不过这次是质量不同的两块砖块的叠放问题，这个处理可以推广到n＋1块砖块的问题，即假设已经叠放好n(n>1)块砖块后，再加一块砖块的叠放问题． 下面就n＋1(n>1)块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图所示的坐标系．考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两部分：从最高层开始的前n－1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n－1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1. 简评：本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行合理的分类往往使问题变得清晰．此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能． 本课结束 应用　V＝eq \r(n)(nv)≥nv，V是nv的eq \r(n)倍． 假设原来1公斤馅包100个汤圆，现在用包2个汤圆的皮包1个大汤圆，即共包50个大汤圆，这时所需的馅应该是原来馅的e